无穷级数的历史背景

欧拉的证明思路：

欧拉使用了代数方法来证明几何级数公式。他的证明基于以下观察：

证明步骤：

1. 设和函数：设 $S = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$

2. 乘以 $x$：$xS = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \cdots$

3. 相减：$S - xS = 1$，因为除了第一项 $1$ 外，其他项都抵消了

4. 提取公因式：$(1 - x)S = 1$

5. 求解：$S = \frac{1}{1 - x}$

证明完成：$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$

收敛条件：当 $|x| < 1$ 时，级数收敛（convergence）。

历史意义：这个证明方法简洁而巧妙，展示了无穷级数运算的基本技巧，为后来的级数理论发展奠定了基础。

莱布尼茨的发现背景：

莱布尼茨在 1673-1674 年间，通过研究反正切函数的幂级数展开发现了这个公式。

发现过程：

1. 研究反正切函数：莱布尼茨注意到 $\arctan x$ 的幂级数展开： $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

2. 特殊值代入：当 $x = 1$ 时，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，代入得到： $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$

3. 历史意义：这是历史上第一个用无穷级数表示 π 的公式，为 π 的计算提供了新的方法。

公式特点：

• 收敛（convergence）速度较慢，需要很多项才能得到精确值
• 但计算简单，只需要加减法
• 为后来的 π 计算提供了重要思路

解题思路： 直接计算前 4 项的和。

详细步骤：

1. 计算各项：$1 = 1$，$\frac{1}{2} = 0.5$，$\frac{1}{4} = 0.25$，$\frac{1}{8} = 0.125$
2. 求和：$1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 1.875$

答案： 前 4 项和为 1.875。

解题思路： 使用公式：$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$

详细步骤：

1. 计算前 3 项：$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5}$
2. 计算：$1 - 0.3333 + 0.2 = 0.8667$
3. 乘以 4：$\pi \approx 4 \times 0.8667 = 3.4668$

答案： π ≈ 3.4668（前 3 项近似值）