级数的基本性质

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则：

1. 加法：$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$
2. 数乘：$\sum_{n=1}^{\infty} (c a_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$（$c$ 为常数）

即收敛级数的线性组合仍收敛，且和等于和的线性组合。

级数收敛的必要条件：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则其通项必趋于零：

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

证明：设级数收敛于 $S$，即 $\lim_{n\to\infty} S_n = S$。由于 $a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \geq 2$），故

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1}) = S - S = 0$

1. 去掉/增加有限项：在级数中去掉、增加或改变有限项，不改变级数的收敛性（但会改变收敛级数的和）。
2. 加括号：收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。但加括号后收敛不能推出原级数收敛（如 $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$ 收敛，但 $1-1+1-1+\cdots$ 发散）。
3. 结合律：收敛级数满足结合律（可任意加括号），但不一定满足交换律（条件收敛级数重排后和可能改变——黎曼重排定理）。

级数的柯西收敛准则：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛的充分必要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对任意正整数 $p$，都有

$|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}| < \varepsilon$

即级数收敛 ⟺ 部分和数列 $\{S_n\}$ 是柯西数列。