级数的定义与收敛性

1. 部分和：$S_n = a + aq + \cdots + aq^{n-1} = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$（$q \neq 1$）
2. 当 $|q| < 1$ 时：$\lim_{n\to\infty} q^n = 0$，故 $\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-q}$，级数收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$
3. 当 $|q| > 1$ 时：$\lim_{n\to\infty} |q|^n = +\infty$，$S_n$ 无界，级数发散
4. 当 $q = 1$ 时：$S_n = na \to \infty$，级数发散
5. 当 $q = -1$ 时：$S_n = a(1-1+1-\cdots+(-1)^{n-1})$，$S_n$ 在 $a$ 和 $0$ 之间振荡，极限不存在，级数发散

答案：等比级数当且仅当 $|q| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$；当 $|q| \geq 1$ 时发散。

1. 通项拆分：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
2. 部分和：$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$
3. 求极限：$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1$

答案：级数收敛，和为 $1$。

1. 估计部分和：将项分组 $S_{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}) + \cdots + (\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n})$
2. 每组估计： $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n} > 2^{n-1} \times \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}$
3. 因此 $S_{2^n} > 1 + \frac{1}{2} + (n-1) \times \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$
4. 当 $n \to \infty$ 时，$S_{2^n} \to +\infty$，故部分和数列无界，级数发散。

答案：调和级数发散（虽然通项 $\frac{1}{n} \to 0$，但级数发散）。

1. $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$
2. $S_n = \frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})] = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
3. $\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{2}$

答案：级数收敛，和为 $\frac{1}{2}$。

1. $\ln\frac{n+1}{n} = \ln(n+1) - \ln n$
2. $S_n = (\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+\cdots+(\ln(n+1)-\ln n) = \ln(n+1)$
3. $\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty$

答案：级数发散。