快易知
无穷级数

幂级数的运算性质

和函数的定义

和函数

幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 在其收敛域内每一点 xx 处都有一个确定的和，这样就定义了一个函数

S(x)=∑n=0∞anxnS(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n

称为幂级数的和函数，其定义域就是幂级数的收敛域。

幂级数的四则运算

定理1

设幂级数 ∑anxn\sum a_n x^n 和 ∑bnxn\sum b_n x^n 的收敛半径分别为 R1R_1 和 R2R_2，令 R=min⁡(R1,R2)R = \min(R_1, R_2)，则在 (−R,R)(-R, R) 内：

  1. 加法：∑anxn+∑bnxn=∑(an+bn)xn\sum a_n x^n + \sum b_n x^n = \sum (a_n + b_n) x^n
  2. 减法：∑anxn−∑bnxn=∑(an−bn)xn\sum a_n x^n - \sum b_n x^n = \sum (a_n - b_n) x^n
  3. 乘法（柯西乘积）： (∑anxn)(∑bnxn)=∑n=0∞(∑k=0nakbn−k)xn\left(\sum a_n x^n\right)\left(\sum b_n x^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\right) x^n
  4. 除法：∑anxn∑bnxn=∑cnxn\frac{\sum a_n x^n}{\sum b_n x^n} = \sum c_n x^n（其中 b0≠0b_0 \neq 0），系数 cnc_n 由 ∑anxn=(∑bnxn)(∑cnxn)\sum a_n x^n = (\sum b_n x^n)(\sum c_n x^n) 递推确定。除法后的收敛半径可能比 RR 小得多。

和函数的性质

定理2

设幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的收敛半径为 R>0R > 0，和函数为 S(x)S(x)，则：

  1. 连续性：S(x)S(x) 在收敛区间 (−R,R)(-R, R) 内连续。如果幂级数在 x=Rx = R（或 x=−Rx = -R）处收敛，则 S(x)S(x) 在该端点处单侧连续。

  2. 可积性：S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R) 内可积，且可以逐项积分：

∫0xS(t)dt=∫0x(∑n=0∞antn)dt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^x S(t) dt = \int_0^x \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}

逐项积分后得到的幂级数收敛半径不变（仍为 RR）。

  1. 可导性：S(x)S(x) 在 (−R,R)(-R, R) 内可导，且可以逐项求导：

S′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=1∞nanxn−1S'(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}

逐项求导后得到的幂级数收敛半径不变（仍为 RR）。

幂级数的唯一性

定理3

如果幂级数 ∑anxn\sum a_n x^n 和 ∑bnxn\sum b_n x^n 在原点的某邻域内有相同的和函数，则它们的系数对应相等，即 an=bna_n = b_n（n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots）。

等价地，如果 ∑anxn=0\sum a_n x^n = 0 在原点的某邻域内成立，则 an=0a_n = 0（n=0,1,2,…n = 0, 1, 2, \ldots）。

典型例题

例题1：逐项求导求和函数

求幂级数 ∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} 的和函数。

参考答案
逐项求导和函数几何级数
  1. 已知几何级数 ∑n=0∞xn=11−x\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}（∣x∣<1|x| < 1）
  2. 两边对 xx 求导：(∑n=0∞xn)′=(11−x)′\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)' = \left(\frac{1}{1-x}\right)'
  3. 左边逐项求导：∑n=1∞nxn−1\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}
  4. 右边求导：1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}
  5. 故 ∑n=1∞nxn−1=1(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}（∣x∣<1|x| < 1）

答案：和函数为 1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2}（∣x∣<1|x| < 1）。

例题2：逐项积分求和函数

求幂级数 ∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} 的和函数。

参考答案
逐项积分和函数对数函数
  1. 设 S(x)=∑n=1∞xnnS(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}，收敛域为 [−1,1)[-1, 1)
  2. 逐项求导：S′(x)=∑n=1∞xn−1=∑n=0∞xn=11−xS'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}（∣x∣<1|x| < 1）
  3. 积分：S(x)=S(0)+∫0x11−tdt=0−ln⁡(1−x)=−ln⁡(1−x)S(x) = S(0) + \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = 0 - \ln(1-x) = -\ln(1-x)
  4. 验证：S(0)=0S(0) = 0，符合
  5. 由连续性，S(−1)=−ln⁡2S(-1) = -\ln 2（交错调和级数的和）

答案：和函数为 S(x)=−ln⁡(1−x)S(x) = -\ln(1-x)（x∈[−1,1)x \in [-1, 1)）。

例题3：幂级数乘法

利用幂级数乘法求 1(1−x)2\frac{1}{(1-x)^2} 的幂级数展开。

参考答案
幂级数乘法柯西乘积几何级数
  1. 已知 11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n（∣x∣<1|x| < 1）
  2. 1(1−x)2=(11−x)2=(∑n=0∞xn)(∑n=0∞xn)\frac{1}{(1-x)^2} = \left(\frac{1}{1-x}\right)^2 = \left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)
  3. 柯西乘积：系数 cn=∑k=0n1⋅1=n+1c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot 1 = n+1
  4. 故 1(1−x)2=∑n=0∞(n+1)xn=∑n=1∞nxn−1\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}（∣x∣<1|x| < 1）
  5. 与逐项求导结果一致。

答案：1(1−x)2=∑n=0∞(n+1)xn\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n（∣x∣<1|x| < 1）。

练习题

练习1

求幂级数 ∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty} n x^n 的和函数。

参考答案
和函数逐项求导几何级数
  1. ∑n=1∞nxn=x∑n=1∞nxn−1=x⋅1(1−x)2=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = x \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2}（∣x∣<1|x| < 1）

答案：和函数为 x(1−x)2\frac{x}{(1-x)^2}（∣x∣<1|x| < 1）。

练习2

求幂级数 ∑n=0∞x2n+12n+1\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} 的和函数。

参考答案
和函数逐项求导反正切函数
  1. 设 S(x)=∑n=0∞x2n+12n+1S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
  2. S′(x)=∑n=0∞x2n=11−x2S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1-x^2}（∣x∣<1|x| < 1）
  3. S(x)=∫0x11−t2dt=12ln⁡1+x1−xS(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}（∣x∣<1|x| < 1）

答案：和函数为 12ln⁡1+x1−x\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}（∣x∣<1|x| < 1）。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
S(x)S(x)和函数sum function幂级数的和函数
R1,R2R_1, R_2收敛半径radii of convergence两个幂级数的收敛半径
cnc_n乘积系数product coefficient柯西乘积的系数
akbn−ka_k b_{n-k}乘积项product term柯西乘积的通项

中英对照

中文术语英文术语音标
和函数sum function/sʌm ˈfʌŋkʃən/
逐项求导term-by-term differentiation/tɜːrm baɪ tɜːrm ˌdɪfərɛnʃiˈeɪʃən/
逐项积分term-by-term integration/tɜːrm baɪ tɜːrm ˌɪntɪˈɡreɪʃən/
柯西乘积Cauchy product/ˈkoʊʃi ˈprɒdʌkt/
四则运算arithmetic operations/əˈrɪθmətɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/
唯一性uniqueness/juːˈniːknəs/
内闭一致收敛uniform convergence on compact sets/ˈjuːnɪfɔːrm kənˈvɜːrdʒəns/
连续性continuity/ˌkɒntɪˈnjuːəti/
可导性differentiability/ˌdɪfəˌrɛnʃiəˈbɪləti/
可积性integrability/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/
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