积分判别法

定义

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负， $a_n = f(n)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与积分 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$\int$	数学符号	积分符号	表示定积分或不定积分运算

积分判别法

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与积分 $\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散，其中 $a_n = f(n)$ ， $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

解：设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ ，则 $a_n = f(n)$

计算积分： $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$

积分发散，所以级数发散。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性积分判别法

解题思路：使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ ，则 $a_n = f(n)$
计算积分： $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
积分发散，所以级数发散

答案：级数发散（divergence）。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	函数	连续函数
$a_n$	数学符号	通项	级数中第 $n$ 项
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数