根值判别法

解题思路： 通项是关于 $n$ 的幂的组合，直接使用根值判别法：对通项取 $n$ 次根，再把所得极限与 $1$ 比较。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{1}{n^n}$，则 $\sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{n}$
2. 求极限：$\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
3. 与 $1$ 比较：$\rho = 0 < 1$
4. 由根值判别法，级数收敛

最终答案：级数收敛（$\rho = 0 < 1$）。

解题思路： 分子与分母都含 $n$ 的幂，取 $n$ 次根后两者各自趋于常数，因此先算出这两个 $n$ 次根的极限，再与 $1$ 比较。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{n^2}{3^n}$，则 $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n^{2/n}}{3}$
2. 计算分子的极限：$n^{2/n} = e^{\frac{2\ln n}{n}} \to e^0 = 1$，因为 $\frac{\ln n}{n} \to 0$
3. 所以 $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/n}}{3} = \frac{1}{3}$
4. 与 $1$ 比较：$\rho = \frac{1}{3} < 1$，由根值判别法级数收敛

最终答案：级数收敛（$\rho = \frac{1}{3} < 1$）。

解题思路： 指数项 $2^n$ 的 $n$ 次根仍为 $2$，而多项式 $n^2$ 的 $n$ 次根趋于 $1$，两者相除所得的极限会大于 $1$。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{2^n}{n^2}$，则 $\sqrt[n]{a_n} = \frac{2}{n^{2/n}}$
2. 计算分母的极限：$n^{2/n} = e^{\frac{2\ln n}{n}} \to 1$
3. 所以 $\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2/n}} = 2$
4. 与 $1$ 比较：$\rho = 2 > 1$，由根值判别法级数发散（此时通项 $\frac{2^n}{n^2}$ 也不趋于 $0$）

最终答案：级数发散（$\rho = 2 > 1$）。

解题思路： 先按根值判别法算出 $\rho$；若得到 $\rho = 1$，说明判别法本身失效，此时必须改用其他判别法。

详细步骤：

1. 设 $a_n = \frac{1}{n^p}$，则 $\sqrt[n]{a_n} = n^{-\frac{p}{n}} = e^{-\frac{p\ln n}{n}}$
2. 因为 $\frac{\ln n}{n} \to 0$，所以 $\rho = \lim_{n \to \infty} e^{-\frac{p\ln n}{n}} = e^0 = 1$
3. $\rho = 1$ 正是根值判别法失效的情形，判别法不能判定收敛或发散
4. 需另选判别法：用 p 级数判别法，$p > 1$ 时收敛，$0 < p \leq 1$ 时发散

最终答案：$\rho = 1$，根值判别法失效、需另选判别法；改用 p 级数判别法得 $p > 1$ 时收敛、$0 < p \leq 1$ 时发散。