比较判别法

定义

比较判别法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都是正项级数，且 $a_n \leq b_n$ （ $n$ 充分大时），则：

如果 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛（convergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence）
如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散（divergence），则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散（divergence）

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 的收敛性。

解：由于 $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（ $p = 2 > 1$ ），

所以由比较判别法， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 收敛。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

级数收敛性比较判别法 p级数

解题思路：使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（ $p = 2 > 1$ ）
由比较判别法， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案：级数收敛（convergence）。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$n$	数学符号	项数	级数中的项数