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无穷级数

指数级数

指数级数的定义

指数级数的定义

级数 ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 称为指数级数。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
∑\sum希腊字母Sigma（西格玛）求和符号，表示级数
∞\infty数学符号无穷大表示无穷级数，项数无限
n!n!数学符号阶乘nn 的阶乘，n!=n×(n−1)×⋯×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1
ee数学符号自然常数自然对数的底，约等于 2.71828

收敛性

指数级数收敛性

对任意实数 xx，级数都收敛，和为：

∑n=0∞xnn!=ex\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x

证明

使用比值判别法：

an+1an=xn+1(n+1)!⋅n!xn=xn+1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} = \frac{x}{n+1}

lim⁡n→∞an+1an=lim⁡n→∞xn+1=0<1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n+1} = 0 < 1

所以对任意实数 xx，级数都收敛。

例题

例 1

求级数 ∑n=0∞1n!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} 的和。

解： 这是指数级数，x=1x = 1

所以和为：e1=ee^1 = e

例 2

求级数 ∑n=0∞2nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} 的和。

解： 这是指数级数，x=2x = 2

所以和为：e2e^2

例 3

求级数 ∑n=0∞(−1)nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 的和。

解： 这是指数级数，x=−1x = -1

所以和为：e−1=1ee^{-1} = \frac{1}{e}

练习题

练习 1

求级数 ∑n=0∞3nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} 的和。

参考答案 (2 个标签)
指数级数 级数求和

解题思路： 这是指数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞3nn!=∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}，其中 x=3x = 3
  2. 这是指数级数，x=3x = 3
  3. 计算和：S=e3S = e^3

答案： 和为 e3e^3。

练习 2

求级数 ∑n=0∞(−2)nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} 的和。

参考答案 (2 个标签)
指数级数 级数求和

解题思路： 这是指数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞(−2)nn!=∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}，其中 x=−2x = -2
  2. 这是指数级数，x=−2x = -2
  3. 计算和：S=e−2=1e2S = e^{-2} = \frac{1}{e^2}

答案： 和为 1e2\frac{1}{e^2}。

练习 3

求级数 ∑n=0∞(ln⁡2)nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!} 的和。

参考答案 (2 个标签)
指数级数 级数求和

解题思路： 这是指数级数，需要确定 xx 的值。

详细步骤：

  1. 识别级数类型：∑n=0∞(ln⁡2)nn!=∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}，其中 x=ln⁡2x = \ln 2
  2. 这是指数级数，x=ln⁡2x = \ln 2
  3. 计算和：S=eln⁡2=2S = e^{\ln 2} = 2

答案： 和为 22。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
xx数学符号变量指数级数中的变量
lim⁡\lim数学符号极限表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语英文术语音标说明
指数级数exponential series/ˌekspəˈnenʃəl ˈsɪəriːz/形如 ∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} 的级数
自然常数natural constant/ˈnætʃərəl ˈkɒnstənt/自然对数的底 ee，约等于 2.71828
阶乘factorial/fækˈtɔːriəl/n!=n×(n−1)×⋯×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1
收敛convergence/kənˈvɜːdʒəns/级数部分和序列有有限极限
比值判别法ratio test/ˈreɪʃiəʊ test/通过相邻项比值判断收敛性的方法
上一章节调和级数学习调和级数的定义、收敛性及其证明方法。 下一章节对数级数学习对数级数的定义、收敛性及其应用。

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