傅里叶级数的定义与计算

三角级数与正交函数系

三角级数

形如

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

的级数称为三角级数，其中 $a_0, a_n, b_n$ （ $n=1,2,\ldots$ ）都是常数。

定理1

三角函数系的正交性：三角函数系

$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots, \cos nx, \sin nx, \ldots\}$

在区间 $[-\pi, \pi]$ 上正交，即其中任意两个不同函数的乘积在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分为零：

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, dx = 0, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \, dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx = 0 \quad (m \neq n)$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx \, dx = 0$

而同一函数的平方积分为：

$\int_{-\pi}^{\pi} 1^2 \, dx = 2\pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 nx \, dx = \pi, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 nx \, dx = \pi$

傅里叶系数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积，则称

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n = 1, 2, \ldots)$

为函数 $f(x)$ 的傅里叶系数。由这些系数构成的三角级数

$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

称为 $f(x)$ 的傅里叶级数，记作

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

注意

注意这里用的是" $\sim$ "而不是" $=$ "，因为傅里叶级数不一定收敛于 $f(x)$ 。是否收敛、收敛于什么，需要由收敛定理来判断。

狄利克雷收敛定理

定理2

狄利克雷（Dirichlet）收敛定理：设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，如果它满足：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
在一个周期内至多只有有限个极值点。

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且：

当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$ ；
当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}$ ，即左右极限的平均值。

狄利克雷定理

狄利克雷定理的条件是充分条件，非常宽松——大部分常见的分段连续函数都满足。这意味着对于绝大多数实际遇到的周期函数，都可以展开成傅里叶级数，只是在间断点处收敛于左右极限的平均值。

奇函数与偶函数的傅里叶级数

定理3

奇函数：如果 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的奇函数，则其傅里叶系数

$a_n = 0 \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$

$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n = 1, 2, \ldots)$

傅里叶级数只含正弦项，称为正弦级数：

$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx$

偶函数：如果 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的偶函数，则其傅里叶系数

$b_n = 0 \quad (n = 1, 2, \ldots)$

$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$

傅里叶级数只含余弦项（包括常数项），称为余弦级数：

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$

典型例题

例题1：方波的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上 $f(x) = \begin{cases} -1, & -\pi \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x < \pi \end{cases}$ ，求其傅里叶级数展开。

参考答案

傅里叶级数奇函数正弦级数方波

$f(x)$ 是奇函数，故 $a_n = 0$ （ $n=0,1,2,\ldots$ ）
$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} 1 \cdot \sin nx \, dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi) = \frac{2}{n\pi}(1 - (-1)^n)$
当 $n$ 为偶数时， $b_n = 0$ ；当 $n$ 为奇数时， $b_n = \frac{4}{n\pi}$
傅里叶级数： $f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1} = \frac{4}{\pi}(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots)$
由收敛定理：在连续点 $x \neq k\pi$ 处，级数收敛于 $f(x)$ ；在间断点 $x = k\pi$ 处，收敛于 $\frac{-1+1}{2} = 0$

答案： $f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}$ （ $x \neq k\pi$ ），在 $x=k\pi$ 处级数和为0。

例题2：锯齿波的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上 $f(x) = x$ ，求其傅里叶级数展开。

参考答案

傅里叶级数奇函数正弦级数锯齿波

$f(x) = x$ 是奇函数，故 $a_n = 0$
$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x \sin nx \, dx$ ，分部积分： $= \frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\cos nx}{n} dx = \frac{2}{\pi} \cdot (-\frac{\pi\cos n\pi}{n}) + 0 = -\frac{2}{n}(-1)^n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
傅里叶级数： $f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx = 2(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots)$
由收敛定理：在 $x \in (-\pi, \pi)$ 时，级数收敛于 $x$ ；在 $x = \pm\pi$ 处，收敛于 $\frac{-\pi+\pi}{2} = 0$

答案： $x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$ （ $x \in (-\pi, \pi)$ ）。

例题3：偶函数的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上 $f(x) = x^2$ ，求其傅里叶级数展开。

参考答案

傅里叶级数偶函数余弦级数

$f(x) = x^2$ 是偶函数，故 $b_n = 0$
$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$
$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x^2 \cos nx \, dx$ ，分部积分两次： $= \frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin nx}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx \, dx = 0 - \frac{4}{n\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n^2\pi}\int_0^{\pi}\cos nx \, dx$ $= \frac{4}{n^2}\cos n\pi - 0 = \frac{4(-1)^n}{n^2}$
傅里叶级数： $f(x) \sim \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$
$f(x) = x^2$ 处处连续，故级数处处收敛于 $x^2$

答案： $x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$ （ $x \in [-\pi, \pi]$ ）。

练习题

练习1

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，在 $[-\pi, \pi)$ 上 $f(x) = |x|$ ，求其傅里叶级数。

参考答案

傅里叶级数偶函数余弦级数

$f(x) = |x|$ 是偶函数， $b_n = 0$
$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x dx = \pi$
$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos nx dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{n^2\pi}(\cos n\pi - 1) = \frac{2}{n^2\pi}((-1)^n - 1)$
$n$ 为偶数时 $a_n=0$ ， $n$ 为奇数时 $a_n = -\frac{4}{n^2\pi}$
$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$

答案： $|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}$ （ $x \in [-\pi, \pi]$ ）。

练习2

利用 $x^2$ 的傅里叶展开，求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。

参考答案

傅里叶级数级数求和巴塞尔问题

由例题3： $x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx$
令 $x = \pi$ （连续点）： $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos n\pi = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}(-1)^n = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
解得： $4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

答案： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ （这就是著名的巴塞尔问题的解）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_n, b_n$	傅里叶系数	Fourier coefficients	傅里叶级数的系数
$a_0$	常数项系数	a zero	傅里叶级数的常数项系数
$f(x^-)$	左极限	left limit	函数在x处的左极限
$f(x^+)$	右极限	right limit	函数在x处的右极限
$\sim$	对应于	corresponds to	函数对应于其傅里叶级数
$2\pi$	周期	period	函数的周期

中英对照

中文术语	英文术语	音标
傅里叶级数	Fourier series	/ˈfʊrieɪ ˈsɪəriːz/
傅里叶系数	Fourier coefficient	/ˈfʊrieɪ koʊɪˈfɪʃənt/
三角级数	trigonometric series	/ˌtrɪɡənəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/
正交函数系	orthogonal system of functions	/ɔːrˈθɒɡənəl ˈsɪstəm əv ˈfʌŋkʃənz/
狄利克雷收敛定理	Dirichlet convergence theorem	/ˈdiːrɪkleɪ kənˈvɜːrdʒəns ˈθɪərəm/
正弦级数	sine series	/saɪn ˈsɪəriːz/
余弦级数	cosine series	/ˈkoʊsaɪn ˈsɪəriːz/
奇函数	odd function	/ɒd ˈfʌŋkʃən/
偶函数	even function	/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/
周期函数	periodic function	/ˌpɪriˈɒdɪk ˈfʌŋkʃən/
第一类间断点	discontinuity of first kind	/ˌdɪskəntɪˈnjuːəti əv fɜːrst kaɪnd/
方波	square wave	/skwer weɪv/
锯齿波	sawtooth wave	/ˈsɔːtuːθ weɪv/
巴塞尔问题	Basel problem	/ˈbɑːzəl ˈprɒbləm/

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三角级数与正交函数系

傅里叶系数

注意

狄利克雷收敛定理

狄利克雷定理

奇函数与偶函数的傅里叶级数

典型例题

例题1：方波的傅里叶级数

例题2：锯齿波的傅里叶级数

例题3：偶函数的傅里叶级数

练习题

练习1

练习2

总结

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