幂级数

幂级数是所有级数中最重要的特例：它形如 $\sum a_n x^n$，收敛域是一个以原点为中心的区间，结构极其规整。

本章的核心是收敛半径的判定（比值法或根值法）以及收敛区间的确定——在 $x=\pm R$ 两端还需单独验证，这一点最容易被忽略。泰勒展开则说明：只要函数在展开点附近光滑，它就能被多项式无限逼近。

多项式逼近任意函数，这个结论的分量常被低估。本章会给出几个常用函数的展开式，并说明它们为什么在计算与数值分析中如此常用。