p级数

定义

p级数的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 称为 $p$ 级数，其中 $p$ 是实数。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限
$p$	数学符号	参数	$p$ 级数的参数，决定级数的收敛性

收敛性

p级数收敛性

当 $p > 1$ 时，级数收敛；当 $p \leq 1$ 时，级数发散。

证明

设 $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ，在 $[1,+\infty)$ 上连续、单调递减、非负。
计算积分：当 $p \neq 1$ 时， $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \Big|_1^{+\infty}$
令 $p>1$ 时积分收敛，说明级数收敛； $p<1$ 时积分发散，级数发散。
当 $p = 1$ 时， $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b\to\infty} \ln b = +\infty$ 所以级数发散。

证明

使用积分判别法：

设 $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ，则 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、单调递减且非负。

积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 的敛散性：

当 $p \neq 1$ 时： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx = \frac{x^{1-p}}{1-p} \big|_1^{+\infty}$

当 $p > 1$ 时，积分收敛
当 $p < 1$ 时，积分发散

当 $p = 1$ 时： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \big|_1^{+\infty} = +\infty$

所以积分发散。

例题

例 1：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的收敛性。

解：这是 $p$ 级数， $p = 2 > 1$

所以级数收敛。

例 2：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的收敛性。

解：这是 $p$ 级数， $p = 3 > 1$

所以级数收敛。

例 3：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的收敛性。

解：这是 $p$ 级数， $p = \frac{1}{2} \leq 1$

所以级数发散。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的收敛性。

参考答案

p级数级数收敛性

解题思路：这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

识别级数类型： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 是 $p$ 级数
确定 $p$ 值： $p = 3$
判断收敛性： $p = 3 > 1$ ，所以级数收敛

答案：级数收敛。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 的收敛性。

参考答案

p级数级数收敛性

解题思路：这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

识别级数类型： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ 是 $p$ 级数
确定 $p$ 值： $p = 4$
判断收敛性： $p = 4 > 1$ ，所以级数收敛

答案：级数收敛。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的收敛性。

参考答案

p级数级数收敛性

解题思路：这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

识别级数类型： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ 是 $p$ 级数
确定 $p$ 值： $p = \frac{1}{2}$
判断收敛性： $p = \frac{1}{2} \leq 1$ ，所以级数发散

答案：级数发散。

练习 4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}}$ 的收敛性。

参考答案

p级数级数收敛性

解题思路：这是 $p$ 级数，需要判断 $p$ 的值与 1 的关系。

详细步骤：

识别级数类型： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1.5}}$ 是 $p$ 级数
确定 $p$ 值： $p = 1.5$
判断收敛性： $p = 1.5 > 1$ ，所以级数收敛

答案：级数收敛。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$n$	数学符号	项数	级数中的项数
$\int$	数学符号	积分	表示定积分或不定积分
$\ln$	数学符号	自然对数	自然对数函数
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
$p$ 级数	$p$ -series	/piː ˈsɪəriːz/	形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
积分判别法	integral test	/ˈɪntɪɡrəl test/	通过积分判断级数收敛性的方法
比较判别法	comparison test	/kəmˈpærɪsən test/	通过比较判断级数收敛性的方法