正切级数

解题思路：

正切级数的和就是 $\tan x$。只要把级数的自变量代成 $x = \frac{\pi}{4}$，直接用正切函数求值即可。

详细步骤：

1. 确认级数类型：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}$ 是正切级数，和为 $\tan x$。
2. 确定参数：$x = \frac{\pi}{4}$。
3. 先检查它落在收敛区间内：$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$，级数收敛，可以代入求和。
4. 计算和：$S = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$。

最终答案：

和为 $1$。

解题思路：

把通项公式里的 $n = 1, 2, 3$ 代进去，伯努利数 $B_2, B_4, B_6$ 依次取 $\frac{1}{6}, -\frac{1}{30}, \frac{1}{42}$，逐项算出系数即可。

详细步骤：

1. $n = 1$：$B_2 = \frac{1}{6}$，系数为 $\frac{1}{6} \cdot (-4) \cdot (1 - 4) \div 2! = \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{2} = 1$。
2. $n = 2$：$B_4 = -\frac{1}{30}$，系数为 $-\frac{1}{30} \cdot 16 \cdot (1 - 16) \div 4! = -\frac{1}{30} \cdot \frac{240}{24} = \frac{1}{3}$。
3. $n = 3$：$B_6 = \frac{1}{42}$，系数为 $\frac{1}{42} \cdot (-64) \cdot (1 - 64) \div 6! = \frac{1}{42} \cdot \frac{4032}{720} = \frac{2}{15}$。
4. 代回通项：第 $n$ 项的幂次是 $x^{2n-1}$，所以三项依次是 $x$、$x^3$、$x^5$。

最终答案：

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$，前三项分别是 $x$、$\frac{x^3}{3}$、$\frac{2x^5}{15}$。

解题思路：

用级数的前若干项近似函数值是级数最直接的用途。误差来自被截断的高次项，因此可以拿更精确的 $\tan 0.5$ 做对照来估计误差。

详细步骤：

1. 取 $x = 0.5$，代入前两项：$\tan 0.5 \approx 0.5 + \frac{0.5^3}{3} = 0.5 + \frac{0.125}{3}$。
2. 计算得 $0.5 + 0.0416667 = 0.5416667$。
3. 对照精确值 $\tan 0.5 \approx 0.5463025$，绝对误差约为 $0.5463025 - 0.5416667 = 0.0046358$，约 $0.0046$。
4. 相对误差约为 $\frac{0.0046358}{0.5463025} \approx 0.85\%$，说明两项近似已有约千分之一的精度；若再补上第三项 $\frac{2}{15}x^5 = \frac{2}{15} \times 0.03125 = 0.0041667$，近似值升到 $0.5458333$，误差降到 $0.0005$ 以内。

最终答案：

近似值为 $0.5417$；绝对误差约 $0.0046$（相对误差约 $0.85\%$），误差主要来自被截断的 $x^5$ 及更高次项。

解题思路：

幂级数的收敛半径由最近奇点决定。只要把 $\tan x$ 的奇点找出来，再讨论端点上的情形即可。

详细步骤：

1. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，在 $\cos x = 0$ 处无定义，即 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。
2. 离原点最近的两个奇点是 $x = \pm\frac{\pi}{2}$，所以级数的收敛半径为 $R = \frac{\pi}{2}$，收敛区间是 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$。
3. 端点情形：在 $x = \frac{\pi}{2}$ 与 $x = -\frac{\pi}{2}$ 处 $\tan x$ 本身没有定义，级数的和无从取到，且由 $\tan x$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 左侧趋于 $+\infty$、右侧趋于 $-\infty$ 可知函数在该点不可去间断，幂级数在此不收敛。
4. 因此两个端点都是开的，收敛区间是 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 而非闭区间。

最终答案：

收敛区间为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$：收敛半径由 $\tan x$ 最近的奇点 $x = \pm\frac{\pi}{2}$ 决定；两个端点处 $\tan x$ 无定义且不可去间断，级数不收敛，故区间两端开。