无穷级数的基本概念

级数的概念

级数的定义

设 $\{a_n\}$ 是一个数列，则表达式：

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots

称为无穷级数，简称级数。其中 $a_n$ 称为级数的通项。

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\{a_n\}$	数学符号	数列表示法	表示一个数列， $a_n$ 是第 $n$ 项
$\sum$	希腊字母	Sigma（西格玛）	求和符号，表示级数
$\infty$	数学符号	无穷大	表示无穷级数，项数无限

部分和

部分和的定义

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的前 $n$ 项和：

S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k

称为级数的第 $n$ 个部分和。

收敛

下面的示意图展示了经典的收敛几何级数（每一项减半）的部分和。图中横坐标表示项数 $n$ ，纵坐标表示前 $n$ 项的部分和。你可以看到曲线在短时间内逼近某个有限值，说明级数收敛速度很快。

级数收敛的定义

如果数列 $\{S_n\}$ 收敛（convergence），即存在有限极限：

\lim_{n \to \infty} S_n = S

则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence）， $S$ 称为级数的和，记作：

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S

发散

当部分和序列不断增长、没有有限极限时，我们称对应的级数发散。下面的图表专门展示调和级数（ $\sum \frac{1}{n}$ ）的部分和，它会随着项数持续增加而不停上升，清晰地体现发散的特征。

级数发散的定义

如果数列 $\{S_n\}$ 发散（divergence），则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散（divergence）。

级数的性质

线性性质

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则：

级数线性性质

$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$

$\sum_{n=1}^{\infty} (ca_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$

其中 $c$ 为常数。

收敛的必要条件

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛（convergence），则：

级数收敛的必要条件

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则其通项必趋于 0：

\lim_{n \to \infty} a_n = 0

证明

证明思路：利用级数收敛的定义和数列极限的性质。

详细证明：

设级数收敛：设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，其和为 $S$ ，即： $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 其中 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
表示通项：注意到 $a_n = S_n - S_{n-1}$ （当 $n \geq 2$ 时）
计算极限： $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n - S_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = S - S = 0$
结论：因此 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

证明完成：如果级数收敛，则其通项必趋于零。

注意：这是必要条件，不是充分条件。即 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ 不能保证级数收敛（convergence）。

练习题

练习 1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性比值判别法

解题思路：使用比值判别法，计算相邻项的比值极限。

详细步骤：

设 $a_n = \frac{n}{2^n}$
计算比值： $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n} = \frac{n+1}{2n}$
求极限： $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1$
判断收敛性：比值小于 1，所以级数收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

级数收敛性绝对收敛 p级数

解题思路：先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

考虑绝对值级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
这是 $p$ 级数， $p = 2 > 1$ ，所以绝对收敛
由于绝对收敛，所以原级数收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 3

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}$ 的收敛性。

参考答案 (2 个标签)

级数收敛性积分判别法

解题思路：使用积分判别法，将级数与积分进行比较。

详细步骤：

设 $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ ，则 $a_n = f(n)$
计算积分： $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x\ln x} dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{\ln x} d(\ln x) = \ln(\ln x) \big|_2^{+\infty} = +\infty$
积分发散，所以级数发散

答案：级数发散（divergence）。

练习 4

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 的收敛性。

参考答案 (3 个标签)

级数收敛性比较判别法 p级数

解题思路：使用比较判别法，与已知收敛的级数进行比较。

详细步骤：

由于 $\frac{1}{n^2 + n} < \frac{1}{n^2}$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的 $p$ 级数（ $p = 2 > 1$ ）
由比较判别法， $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$ 收敛

答案：级数收敛（convergence）。

练习 5

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/2}}$ 的收敛性。

参考答案 (6 个标签)

级数收敛性绝对收敛条件收敛交错级数莱布尼茨判别法 p级数

解题思路：先判断绝对收敛性，如果绝对收敛则原级数收敛。

详细步骤：

考虑绝对值级数： $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
这是 $p$ 级数， $p = \frac{1}{2} \leq 1$ ，所以发散
由于绝对值级数发散，需要进一步判断
原级数是交错级数， $a_n = \frac{1}{n^{1/2}}$
检查莱布尼茨判别法条件：
- $a_n > 0$ ✓
- $a_{n+1} < a_n$ ✓（因为 $\frac{1}{(n+1)^{1/2}} < \frac{1}{n^{1/2}}$ ）
- $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ ✓
满足莱布尼茨判别法条件，所以级数收敛

答案：级数收敛（条件收敛）（conditional convergence）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\{a_n\}$	数学符号	数列表示法	表示一个数列， $a_n$ 是第 $n$ 项
$S_n$	数学符号	部分和	级数的前 $n$ 项和
$\lim$	数学符号	极限	表示数列或函数的极限
$\rho$	希腊字母	Rho（柔）	表示级数收敛性判别中的极限值

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
级数	series	/ˈsɪəriːz/	无穷项的和，记作 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
无穷级数	infinite series	/ˈɪnfɪnɪt ˈsɪəriːz/	项数无限的级数
通项	general term	/ˈdʒenərəl tɜːm/	级数中第 $n$ 项 $a_n$
部分和	partial sum	/ˈpɑːʃəl sʌm/	级数前 $n$ 项的和 $S_n$
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列有有限极限
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/	级数部分和序列无有限极限
和	sum	/sʌm/	收敛级数的极限值
线性性质	linearity property	/ˈlɪniəriti ˈprɒpəti/	级数运算的线性特征
必要条件	necessary condition	/nɪˈsesəri kənˈdɪʃən/	级数收敛必须满足的条件
充分条件	sufficient condition	/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/	保证级数收敛的充分条件
条件收敛	conditional convergence	/kənˈdɪʃənəl kənˈvɜːdʒəns/	级数收敛但绝对值级数发散

上一章节无穷级数的历史背景下一章节收敛性判别法学习各种级数收敛判别法，包括正项级数、交错级数以及一般（任意项）级数的判别法。

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