幂级数的定义与收敛性

1. $a_n = \frac{1}{n}$，用比值判别法： $L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$
2. 收敛半径 $R = \frac{1}{L} = 1$，收敛区间为 $(-1, 1)$
3. 判断端点：
   • $x = 1$：级数为 $\sum \frac{1}{n}$，调和级数，发散
   • $x = -1$：级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$，交错调和级数，由莱布尼茨判别法收敛
4. 收敛域为 $[-1, 1)$

答案：收敛半径 $R=1$，收敛域为 $[-1, 1)$。

1. 这是缺项幂级数（只有偶次项），直接对通项用比值判别法：
2. 设 $u_n = \frac{x^{2n}}{(2n)!}$，则 $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{x^{2n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)} = 0 < 1$
3. 对任意 $x$，比值极限都小于1，故收敛半径 $R = +\infty$

答案：收敛半径 $R = +\infty$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。

1. 令 $t = x - 1$，级数变为 $\sum \frac{t^n}{2^n n}$
2. $a_n = \frac{1}{2^n n}$，$L = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n n}{2^{n+1}(n+1)} = \frac{1}{2}$
3. 收敛半径 $R = 2$，$t \in (-2, 2)$，即 $x \in (-1, 3)$
4. 端点：
   • $t = 2$（$x=3$）：$\sum \frac{1}{n}$，发散
   • $t = -2$（$x=-1$）：$\sum \frac{(-1)^n}{n}$，收敛
5. 收敛域为 $[-1, 3)$

答案：收敛域为 $[-1, 3)$。

1. $a_n = \frac{1}{n!}$，$L = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$
2. $R = +\infty$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$

答案：收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。

1. $a_n = n$，$L = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1$，$R = 1$
2. 端点 $x = \pm 1$：通项 $n(\pm1)^n$ 不趋于零，发散
3. 收敛域为 $(-1, 1)$

答案：收敛域为 $(-1, 1)$。