级数的基本性质

级数的线性性质

定理1

如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 都收敛，则：

加法： $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$
数乘： $\sum_{n=1}^{\infty} (c a_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ （ $c$ 为常数）

即收敛级数的线性组合仍收敛，且和等于和的线性组合。

几何解释

推论

证明

符号说明

注意：

两个发散级数的和不一定发散（如 $\sum 1$ 和 $\sum (-1)$ 都发散，但和为 $\sum 0 = 0$ 收敛）。
一个收敛级数与一个发散级数的和一定发散。
级数乘以非零常数不改变收敛性。

收敛的必要条件

定理2

级数收敛的必要条件：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则其通项必趋于零：

$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

证明：设级数收敛于 $S$ ，即 $\lim_{n\to\infty} S_n = S$ 。由于 $a_n = S_n - S_{n-1}$ （ $n \geq 2$ ），故

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1}) = S - S = 0$

几何解释

推论

证明

符号说明

重要提醒： $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ 是级数收敛的必要条件，不是充分条件！

即通项趋于零不能保证级数收敛。经典反例：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ ，通项 $\frac{1}{n} \to 0$ ，但级数发散。

正确用法：

如果 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ ，则级数必发散（通项判别法）。
如果 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ ，级数可能收敛也可能发散，需要进一步判断。

通项判别法（发散的充分条件）

通项判别法

如果 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ （或极限不存在），则级数 $\sum a_n$ 必发散。

这是判断级数发散最简单快捷的方法，拿到一个级数首先看通项是否趋于零。

级数与有限项的关系

定理3

去掉/增加有限项：在级数中去掉、增加或改变有限项，不改变级数的收敛性（但会改变收敛级数的和）。
加括号：收敛级数加括号后仍收敛，且和不变。但加括号后收敛不能推出原级数收敛（如 $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$ 收敛，但 $1-1+1-1+\cdots$ 发散）。
结合律：收敛级数满足结合律（可任意加括号），但不一定满足交换律（条件收敛级数重排后和可能改变——黎曼重排定理）。

几何解释

推论

证明

符号说明

柯西收敛准则

定理4

级数的柯西收敛准则：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛的充分必要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，对任意正整数 $p$ ，都有

$|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}| < \varepsilon$

即级数收敛 ⟺ 部分和数列 $\{S_n\}$ 是柯西数列。

几何解释

推论

证明

符号说明

柯西收敛准则是级数收敛的充要条件，理论价值很高，但在实际判别中使用较少（因为验证不等式往往比较困难）。实际中更常用各种具体的判别法（比较判别法、比值判别法等）。

典型例题

例题1：通项判别法

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1}$ 的收敛性。

参考答案(3 个标签)

通项判别法发散必要条件

计算通项极限： $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n}} = \frac{1}{2} \neq 0$
由通项判别法，级数发散。

答案：级数发散（通项不趋于零）。

例题2：线性性质的应用

已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 3$ ， $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = 5$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} (2a_n - 3b_n)$ 。

参考答案(3 个标签)

线性性质级数运算收敛级数

由线性性质： $\sum (2a_n - 3b_n) = 2\sum a_n - 3\sum b_n = 2 \times 3 - 3 \times 5 = 6 - 15 = -9$

答案： $-9$

例题3：加括号的反例

证明级数 $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ 发散，但加括号后 $(1-1)+(1-1)+\cdots$ 收敛。

参考答案(3 个标签)

加括号发散振荡级数

原级数通项 $a_n = (-1)^{n+1}$ ， $\lim_{n\to\infty} a_n$ 不存在（在1和-1之间振荡），故由通项判别法，原级数发散。
加括号后： $(1-1)+(1-1)+\cdots = 0+0+\cdots = 0$ ，收敛（和为0）。
这说明加括号后收敛不能推出原级数收敛。

答案：原级数发散，加括号后收敛于0。

练习题

练习1

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$ 的收敛性。

参考答案(3 个标签)

通项判别法发散重要极限

$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1 \neq 0$ （重要极限）
由通项判别法，级数发散。

答案：级数发散。

练习2

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{1}{n}$ 的收敛性（提示：先看通项是否趋于零，再思考如何进一步判断）。

参考答案(4 个标签)

通项趋于零发散比较判别法调和级数

$\lim_{n\to\infty} \sin\frac{1}{n} = 0$ ，通项趋于零，必要条件满足，不能直接判断发散。
用比较判别法：当 $n\to\infty$ 时， $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ （等价无穷小）。
而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法的极限形式， $\sum \sin\frac{1}{n}$ 也发散。

答案：级数发散（虽然通项趋于零，但与调和级数同阶）。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\varepsilon$	希腊字母	epsilon	柯西准则中的任意正数
$N$	正整数	N	柯西准则中的阈值
$p$	正整数	p	柯西准则中的任意项数
$c$	常数	constant	级数数乘的常数

中英对照

中文术语	英文术语	音标
线性性质	linearity property	/ˌlɪniˈærəti ˈprɒpəti/
必要条件	necessary condition	/ˈnɛsəˌsɛri kənˈdɪʃən/
充分条件	sufficient condition	/səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/
充要条件	necessary and sufficient condition	/ˈnɛsəˌsɛri ənd səˈfɪʃənt kənˈdɪʃən/
柯西收敛准则	Cauchy convergence criterion	/ˈkoʊʃi kənˈvɜːdʒəns kraɪˈtɪriən/
柯西数列	Cauchy sequence	/ˈkoʊʃi ˈsiːkwəns/
加括号	grouping / insertion of parentheses	/ˈɡruːpɪŋ/
结合律	associative law	/əˈsoʊʃiətɪv lɔː/
交换律	commutative law	/kəˈmjuːtətɪv lɔː/
通项判别法	nth-term test	/ɛnθ tɜːrm test/
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/
振荡	oscillation	/ˌɒsɪˈleɪʃən/

上一章节级数的定义与收敛性学习无穷级数的定义、部分和的概念，以及级数收敛与发散的定义和判定。

下一章节几何级数学习几何级数的定义、收敛性及其应用。