级数的定义与收敛性

级数的定义

无穷级数

设 $\{a_n\}$ 是一个数列，则表达式

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots$

称为无穷级数，简称级数。其中 $a_n$ 称为级数的通项（或一般项）。

级数是无穷多项的”和”，但这个”和”不是简单地把无穷多项加起来（这在有限时间内无法完成），而是通过部分和的极限来定义。这是理解级数收敛性的关键。

部分和

级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的前 $n$ 项和

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$

称为级数的第 $n$ 个部分和。数列 $\{S_n\}$ 称为部分和数列。

部分和数列与级数之间有一一对应关系：

给定级数 $\sum a_n$ ，可以构造部分和数列 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$
给定部分和数列 $\{S_n\}$ ，可以构造级数 $a_1 + \sum_{n=2}^{\infty} (S_n - S_{n-1})$

收敛与发散

级数的收敛与发散

如果部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛，即存在有限极限

$\lim_{n \to \infty} S_n = S$

则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛， $S$ 称为级数的和，记作

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$

如果部分和数列 $\{S_n\}$ 发散（极限不存在或为无穷大），则称级数发散。

收敛级数的余项

收敛级数 $\sum a_n = S$ 的余项定义为

$r_n = S - S_n = a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k$

显然 $\lim_{n\to\infty} r_n = 0$ ，即当 $n$ 足够大时，部分和 $S_n$ 可以任意接近级数的和 $S$ 。

典型例题

例题1：等比级数（几何级数）

讨论等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} aq^n = a + aq + aq^2 + \cdots$ （ $a \neq 0$ ）的收敛性。

参考答案(4 个标签)

等比级数几何级数收敛性部分和

部分和： $S_n = a + aq + \cdots + aq^{n-1} = a \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ （ $q \neq 1$ ）
当 $|q| < 1$ 时： $\lim_{n\to\infty} q^n = 0$ ，故 $\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-q}$ ，级数收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$
当 $|q| > 1$ 时： $\lim_{n\to\infty} |q|^n = +\infty$ ， $S_n$ 无界，级数发散
当 $q = 1$ 时： $S_n = na \to \infty$ ，级数发散
当 $q = -1$ 时： $S_n = a(1-1+1-\cdots+(-1)^{n-1})$ ， $S_n$ 在 $a$ 和 $0$ 之间振荡，极限不存在，级数发散

答案：等比级数当且仅当 $|q| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$ ；当 $|q| \geq 1$ 时发散。

例题2： telescoping 级数（裂项相消）

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 的和。

参考答案(4 个标签)

裂项相消telescoping级数求和收敛

通项拆分： $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
部分和： $S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$
求极限： $\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1$

答案：级数收敛，和为 $1$ 。

例题3：调和级数发散

证明调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots$ 发散。

参考答案(4 个标签)

调和级数发散证明题部分和估计

估计部分和：将项分组 $S_{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}) + \cdots + (\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n})$
每组估计： $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2^{n-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^n} > 2^{n-1} \times \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}$
因此 $S_{2^n} > 1 + \frac{1}{2} + (n-1) \times \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$
当 $n \to \infty$ 时， $S_{2^n} \to +\infty$ ，故部分和数列无界，级数发散。

答案：调和级数发散（虽然通项 $\frac{1}{n} \to 0$ ，但级数发散）。

练习题

练习1

求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的和。

参考答案(2 个标签)

裂项相消级数求和

$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$
$S_n = \frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})] = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{2}$

答案：级数收敛，和为 $\frac{1}{2}$ 。

练习2

讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln\frac{n+1}{n}$ 的收敛性。

参考答案(3 个标签)

发散裂项相消对数级数

$\ln\frac{n+1}{n} = \ln(n+1) - \ln n$
$S_n = (\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+\cdots+(\ln(n+1)-\ln n) = \ln(n+1)$
$\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty$

答案：级数发散。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\sum$	求和符号	Sigma	表示级数求和
$a_n$	通项	general term	级数的第n项
$S_n$	部分和	partial sum	级数前n项的和
$S$	级数和	sum	收敛级数的和
$r_n$	余项	remainder	收敛级数的余项
$q$	公比	common ratio	等比级数的公比

中英对照

中文术语	英文术语	音标
无穷级数	infinite series	/ˈɪnfɪnɪt ˈsɪəriːz/
通项	general term	/ˈdʒenərəl tɜːm/
部分和	partial sum	/ˈpɑːʃəl sʌm/
收敛	convergence	/kənˈvɜːdʒəns/
发散	divergence	/daɪˈvɜːdʒəns/
级数和	sum of series	/sʌm əv ˈsɪəriːz/
余项	remainder	/rɪˈmeɪndər/
等比级数	geometric series	/ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/
调和级数	harmonic series	/hɑːrˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/
裂项相消	telescoping series	/ˈtelɪskoʊpɪŋ ˈsɪəriːz/

上一章节无穷级数的基本概念学习无穷级数的定义、部分和、收敛与发散的概念，以及级数的基本性质和收敛的必要条件。

下一章节级数的基本性质学习级数的线性性质、收敛的必要条件、级数的柯西收敛准则，以及收敛级数的运算性质。