《多元函数积分学》读者视角问题清单

检查时间：2026-06-04 复核时间：2026-08-12

检查范围：content/courses/zh-cn/multivariable-integral 下的课程入口、章节索引和主要 MDX 课文。以下问题从读者学习体验出发整理，优先级越高，越可能直接导致读者中断阅读、误解知识或不信任课程。

数学错误修复 TODO

• 双曲变换雅可比行列式多除以 2 (change-of-variables/index.mdx) — 已修复 2026-08-12（复核新发现）

  • 变换 $x=a\frac{u^2-v^2}{2},\ y=auv$ 的雅可比原写为 $J=a^2\frac{u^2+v^2}{2}$，正确为 $J=a^2(u^2+v^2)$（作者把 $x$ 表达式中的 $1/2$ 误带入了雅可比）。
  • 修复：改为 $J=a^2(u^2+v^2)$。

• 练习 1 中间步骤 $(x^2+y^2)^2$ 误算 (change-of-variables/index.mdx) — 已修复 2026-08-12（复核新发现）

  • 计算 $\iint\frac{1}{(x^2+y^2)^2}dxdy$ 时，将 $(x^2+y^2)^2$ 误作 $\rho^2$，写成 $\int\frac{1}{\rho^2}\cdot\rho\,d\rho$。正确为 $(x^2+y^2)^2=\rho^4$，即 $\int\frac{1}{\rho^4}\cdot\rho\,d\rho=\int\frac{1}{\rho^3}\,d\rho$。结论“发散”不变，但中间代数错误。
  • 修复：改正被积式与原函数 $\left[-\frac{1}{2\rho^2}\right]_0^1$。

P0：会直接阻断学习的问题

暂未发现会直接阻断学习的 P0 问题。

P1：结构和学习路径问题

暂未发现明显的结构性 P1 问题。

P2：阅读体验问题

4 个页面过度依赖组件承载内容

• 仍待处理

受影响文件：

• content/courses/zh-cn/multivariable-integral/applications/index.mdx
• content/courses/zh-cn/multivariable-integral/change-of-variables/index.mdx
• content/courses/zh-cn/multivariable-integral/line-surface-integrals/index.mdx
• content/courses/zh-cn/multivariable-integral/vector-fields/index.mdx

图像和可视化资源偏少

• 仍待处理

本课程 7 个 MDX 页面，本地图示引用约 0 处。

建议修复顺序

1. 补关键图示和文字兜底。
2. 减少组件单独承载关键信息。

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数学错误记录

• 复核 2026-08-12：原记“暂未发现数学错误”不准确，已在 change-of-variables/index.mdx 发现并修复 2 处（双曲变换雅可比、练习 1 幂次）。line-surface-integrals/index.mdx 的格林/高斯/斯托克斯公式及两道练习验算正确。

下一章节二重积分学习二重积分的概念、性质、计算方法和几何意义。