三角函数的不连续性

三角函数是微积分中的重要函数类型，某些三角函数在特定点处不连续。

理解三角函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

Basic Properties

三角函数具有以下基本性质：

周期性：具有周期性特征
连续性： $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
不连续性： $\tan x$ 和 $\cot x$ 在特定点处不连续
渐近线：不连续点处有垂直渐近线

$\mathbb{R}$ （双线体 R）：这是数学中的标准符号，表示实数集（Real numbers），即所有实数的集合。双线体（blackboard bold）是数学中专门用来表示数集的字体风格，用于区分集合符号和普通变量。

$\pi$ （Pi）：希腊字母，读作”派”，表示圆周率。在本文中用于表示角度（如 $\pi$ 、 $\frac{\pi}{2}$ 、 $\sqrt{k\pi}$ ）。

连续三角函数

正弦函数和余弦函数

正弦函数： $f(x) = \sin x$

性质：

定义域： $\mathbb{R}$
在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
周期为 $2\pi$
值域： $[-1, 1]$

余弦函数： $f(x) = \cos x$

性质：

定义域： $\mathbb{R}$
在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
周期为 $2\pi$
值域： $[-1, 1]$

不连续三角函数

正切函数

定义： $f(x) = \tan x$

性质：

定义域： $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ （ $k$ 为整数）
在定义域内连续
周期为 $\pi$
值域： $\mathbb{R}$
在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析：

不连续点： $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ （ $k$ 为整数）
左极限： $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^-} \tan x = +\infty$
右极限： $\lim_{x \to (\frac{\pi}{2} + k\pi)^+} \tan x = -\infty$
这些是第二类不连续点

余切函数

定义： $f(x) = \cot x$

性质：

定义域： $x \neq k\pi$ （ $k$ 为整数）
在定义域内连续
周期为 $\pi$
值域： $\mathbb{R}$
在不连续点处有垂直渐近线

不连续点分析：

不连续点： $x = k\pi$ （ $k$ 为整数）
左极限： $\lim_{x \to (k\pi)^-} \cot x = -\infty$
右极限： $\lim_{x \to (k\pi)^+} \cot x = +\infty$
这些是第二类不连续点

正割函数和余割函数

正割函数： $f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x}$

性质：

定义域： $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ （ $k$ 为整数）
在定义域内连续
周期为 $2\pi$
在不连续点处有垂直渐近线

余割函数： $f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x}$

性质：

定义域： $x \neq k\pi$ （ $k$ 为整数）
在定义域内连续
周期为 $2\pi$
在不连续点处有垂直渐近线

三角函数的不连续性分析

不连续点类型

三角函数的不连续点主要有以下几种类型：

第二类不连续点：极限趋向无穷
垂直渐近线：在不连续点处有垂直渐近线
周期性不连续：不连续点具有周期性特征

连续性判定

$\sin x$ 和 $\cos x$ ：在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
$\tan x$ 和 $\cot x$ ：在定义域内连续，在不连续点处有垂直渐近线
$\sec x$ 和 $\csc x$ ：在定义域内连续，在不连续点处有垂直渐近线

复合三角函数的不连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $\sin(f(x))$ 和 $\cos(f(x))$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1： $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$

分析：

内函数 $h(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 处连续
外函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $x \neq 0$ 处连续
在 $x = 0$ 处不连续（内函数在该点无定义）

例子 2： $f(x) = \tan(x^2)$

分析：

内函数 $h(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
外函数 $g(x) = \tan x$ 在定义域内连续
因此 $f(x) = g(h(x))$ 在定义域内连续
不连续点：当 $x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时，即 $x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2} + k\pi}$

Graph Characteristics of Trigonometric Functions

图像特征总结

周期性：三角函数具有周期性，图像重复出现
平滑性：在定义域内，三角函数的图像是平滑的曲线
渐近线：不连续点处有垂直渐近线
对称性： $\sin x$ 是奇函数， $\cos x$ 是偶函数

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = \tan(x^2)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

Reference Answer

解题思路：利用复合函数的连续性。

详细步骤：

内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
由于 $x^2 \geq 0$ ，且 $\tan x$ 在 $x = 0$ 处连续
因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $x = 0$ 处连续

答案：函数在 $x = 0$ 处连续。

练习 2

判断函数 $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

Reference Answer

解题思路：检查函数在该点是否有定义。

详细步骤：

函数在 $x = 0$ 处无定义
因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，因为函数在该点无定义。

练习 3

判断函数 $f(x) = \cot(x^2)$ 的连续区间。

Reference Answer

解题思路：分析复合函数的定义域和连续性。

详细步骤：

内函数 $g(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
外函数 $h(x) = \cot x$ 在定义域内连续
需要 $x^2 \neq k\pi$ ，即 $x \neq \pm\sqrt{k\pi}$ （ $k$ 为非负整数）
因此连续区间为除 $x = \pm\sqrt{k\pi}$ 外的所有实数

答案：连续区间为除 $x = \pm\sqrt{k\pi}$ 外的所有实数。

练习 4

判断函数 $f(x) = \tan(\sin x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

Reference Answer

解题思路：利用复合函数的连续性。

详细步骤：

内函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
外函数 $h(x) = \tan x$ 在定义域内连续
由于 $\sin x \in [-1, 1]$ ，且 $\tan x$ 在 $[-1, 1]$ 内连续
因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

答案：函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

练习 5

判断函数 $f(x) = \cos(\ln x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

Reference Answer

解题思路：利用复合函数的连续性。

详细步骤：

内函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
外函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
因此 $f(x) = h(g(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
特别地， $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续

答案：函数在 $x = 1$ 处连续。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$ ，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

Reference Answer

解题思路：分别计算左极限、右极限和函数值，判断三者是否相等。

详细步骤：

左极限： $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$
右极限： $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
函数值： $f(0) = \sin 0 = 0$
左右极限不相等，因此函数在 $x = 0$ 处不连续

答案：函数在 $x = 0$ 处不连续，这是一个跳跃不连续点。

Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\mathbb{R}$	数学符号	双线体 R（Real numbers）	表示实数集
$\pi$	希腊字母	Pi（派）	圆周率，用于表示角度（如 $\pi$ 、 $\sqrt{k\pi}$ ）

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
三角函数	trigonometric function	/trɪɡənəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃən/	正弦、余弦、正切等函数
正切函数	tangent function	/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃən/	$f(x) = \tan x$
余切函数	cotangent function	/kəʊˈtændʒənt ˈfʌŋkʃən/	$f(x) = \cot x$
不连续点	discontinuity point	/dɪskɒntɪˈnjuːəti pɔɪnt/	函数在该点不连续的点
第二类不连续点	discontinuity of the second kind	/dɪskɒntɪˈnjuːəti əv ðə ˈsekənd kaɪnd/	至少一个单侧极限不存在的间断点
垂直渐近线	vertical asymptote	/ˈvɜːtɪkəl ˈæsɪmptəʊt/	函数图像在该点附近的垂直渐近线
复合函数	composite function	/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃən/	由多个函数复合而成的函数
跳跃不连续点	jump discontinuity	/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːəti/	左右极限存在但不相等的间断点

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