对数函数

对数函数是微积分中的重要函数类型，具有独特的性质。理解对数函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

Basic Properties

对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：对数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 可导性：在定义域内可导
• 反函数关系：对数函数和指数函数互为反函数

自然对数函数

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x}$

一般对数函数

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$
• 导数：$f'(x) = \frac{1}{x \ln a}$

Graph Characteristics of Logarithmic Functions

1. 单调性：对数函数在其定义域内单调
2. 渐近线：有垂直渐近线 $x = 0$
3. 平滑性：图像是平滑的曲线，无尖角或断裂
4. 增长性：对数函数增长缓慢

对数函数的连续性分析

连续性判定

对数函数在 $(0, +\infty)$ 上连续。

连续性证明

对数函数的连续性基于以下事实：

1. 反函数的连续性：连续函数的反函数连续
2. 指数函数连续：指数函数 $e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 对数函数是指数函数的反函数：$\ln x$ 是 $e^x$ 的反函数
4. 因此对数函数连续：$\ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

复合函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续且 $f(x_0) > 0$，则 $\ln f(x)$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \ln(x^2 - 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
• 因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ 上连续

例子 3：$f(x) = \ln(\cos x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $\cos x > 0$
• 因此 $f(x)$ 在所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值处连续

对数函数与指数函数的关系

互为反函数

对数函数和指数函数互为反函数：

• $\ln(e^x) = x$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$
• $e^{\ln x} = x$ 对所有 $x > 0$

复合函数

例子：$f(x) = e^{\ln x}$

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 实际上 $f(x) = x$（当 $x > 0$ 时）

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

练习 4

判断函数 $f(x) = \log_2 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上的连续性。

Summary

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中英对照