三角函数

三角函数是微积分中的重要函数类型，具有周期性特征。理解三角函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

Basic Properties

三角函数具有以下基本性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$（对于 $\sin x$ 和 $\cos x$）
• 连续性：在定义域内处处连续
• 周期性：具有周期性特征
• 有界性：函数值有界

Common Trigonometric Functions

1. 正弦函数

定义：$f(x) = \sin x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$
• 图像是正弦曲线

2. 余弦函数

定义：$f(x) = \cos x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
• 周期为 $2\pi$
• 值域：$[-1, 1]$
• 图像是余弦曲线

3. 正切函数

定义：$f(x) = \tan x$

性质：

• 定义域：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

4. 余切函数

定义：$f(x) = \cot x$

性质：

• 定义域：$x \neq k\pi$（$k$ 为整数）
• 在定义域内连续
• 周期为 $\pi$
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在不连续点处有垂直渐近线

三角函数的连续性分析

连续性判定

1. $\sin x$ 和 $\cos x$：在 $\mathbb{R}$ 上处处连续
2. $\tan x$ 和 $\cot x$：在定义域内连续，在不连续点处有垂直渐近线

连续性证明

三角函数的连续性基于以下事实：

1. 幂级数展开：$\sin x$ 和 $\cos x$ 可以用幂级数表示
2. 幂级数的连续性：幂级数在其收敛域内连续
3. 复合函数的连续性：连续函数的复合函数连续

Graph Characteristics of Trigonometric Functions

图像特征总结

1. 周期性：三角函数具有周期性，图像重复出现
2. 平滑性：在定义域内，三角函数的图像是平滑的曲线
3. 有界性：$\sin x$ 和 $\cos x$ 有界，$\tan x$ 和 $\cot x$ 无界
4. 对称性：$\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数

复合三角函数的连续性

基本定理

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，则 $\sin(f(x))$ 和 $\cos(f(x))$ 在 $x_0$ 点连续。

例子

例子 1：$f(x) = \sin(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

例子 2：$f(x) = \cos(\ln x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = \sin(x^2)$ 在 $x = \pi$ 处的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = \cos(x^3)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 3

判断函数 $f(x) = \tan(x^2)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 4

判断函数 $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 5

判断函数 $f(x) = \cos(\ln x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

练习 6

设函数 $f(x) = \begin{cases} \sin x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

Summary

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中英对照