多项式函数的连续性

多项式函数是最基本的初等函数类型，在微积分中具有重要地位。理解多项式函数的连续性性质对于学习更复杂的函数类型具有重要意义。

Basic Properties

多项式函数具有以下基本性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$（全体实数）
• 连续性：在定义域内处处连续
• 图像特征：平滑的曲线，无跳跃或断裂
• 可导性：在定义域内处处可导

Definition of Polynomial Functions

多项式函数的连续性

基本定理

定理：多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续。

证明思路

多项式函数连续性的证明基于以下事实：

1. 常数函数连续：$f(x) = c$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 幂函数连续：$f(x) = x^n$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 连续函数的和、差、积连续

详细证明

设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

1. 每个幂函数 $x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 常数倍 $a_k x^k$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
3. 有限个连续函数的和在 $\mathbb{R}$ 上连续
4. 因此多项式函数在 $\mathbb{R}$ 上连续

Common Polynomial Functions

1. 一次函数（线性函数）

形式：$f(x) = ax + b$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = 2x + 1$

性质：

• 图像是一条直线
• 斜率为 $a$
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

2. 二次函数

形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^2 + 2x + 1$

性质：

• 图像是一条抛物线
• 当 $a > 0$ 时开口向上，当 $a < 0$ 时开口向下
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

3. 三次函数

形式：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）

例子：$f(x) = x^3 - 3x + 2$

性质：

• 图像是一条三次曲线
• 可能有局部极值点
• 在 $\mathbb{R}$ 上处处连续

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

练习 3

设 $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 1$，求 $f(x)$ 的连续区间。

练习 4

设 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数。若 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，求 $a + b + c$ 的值。

练习 5

判断函数 $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

Summary

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中英对照