指数函数的不连续性

指数函数是微积分中的重要函数类型，某些情况下会出现不连续性。理解指数函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

Basic Properties

指数函数具有以下基本性质：

• 单调性：指数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 不连续性：在某些边界点处不连续
• 反函数关系：指数函数和对数函数互为反函数

基本指数函数

自然指数函数

定义：$f(x) = e^x$

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 图像是单调递增的指数曲线
• 值域：$(0, +\infty)$

一般指数函数

定义：$f(x) = a^x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$\mathbb{R}$
• 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$(0, +\infty)$

复合指数函数的不连续性

例子 1：$f(x) = e^{\frac{1}{x}}$

分析：

• 内函数 $h(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 处连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $x \neq 0$ 处连续
• 在 $x = 0$ 处不连续（内函数在该点无定义）

不连续点分析：

• 不连续点：$x = 0$
• 函数在该点无定义
• 这是一个无定义点

例子 2：$f(x) = a^{\ln x}$（$a > 0, a \neq 1$）

分析：

• 内函数 $h(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 外函数 $g(x) = a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 在 $x = 0$ 处不连续（内函数在该点无定义）

不连续点分析：

• 不连续点：$x = 0$
• 函数在该点无定义
• 这是一个边界不连续点

例子 3：$f(x) = e^{\sin x}$

分析：

• 内函数 $h(x) = \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

结论：这个函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续，没有不连续点。

分段指数函数的不连续性

例子：分段函数

设函数 $f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$

分析：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^x = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$
3. 函数值：$f(0) = e^0 = 1$
4. 三者相等，因此函数在 $x = 0$ 处连续

结论：这个分段函数在 $x = 0$ 处连续。

不连续点类型

指数函数的不连续点主要有以下几种类型：

1. 无定义点：函数在该点无定义
2. 边界不连续：在定义域边界处不连续
3. 复合函数不连续：由于内函数的不连续导致的不连续

连续性判定

1. 基本指数函数：在 $\mathbb{R}$ 上连续
2. 复合指数函数：需要检查内函数的定义域和连续性
3. 分段指数函数：需要检查分段点处的左右极限和函数值

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = e^{\sin x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

练习 3

设函数 $f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \\ x + 1, & x > 0 \end{cases}$，判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

练习 4

判断函数 $f(x) = 2^{\frac{1}{x-1}}$ 在 $x = 1$ 处的连续性。

Summary

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中英对照