对数函数的不连续性

对数函数是微积分中的重要函数类型，某些情况下会出现不连续性。

理解对数函数的不连续性对于掌握不连续性的概念具有重要意义。

Basic Properties

对数函数具有以下基本性质：

• 单调性：对数函数是单调函数
• 连续性：在定义域内连续
• 不连续性：在某些边界点处不连续
• 反函数关系：对数函数和指数函数互为反函数

基本对数函数

自然对数函数

定义：$f(x) = \ln x$

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 图像是单调递增的对数曲线
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在 $x = 0$ 处不连续（函数无定义）

一般对数函数

定义：$f(x) = \log_a x$（$a > 0, a \neq 1$）

性质：

• 定义域：$(0, +\infty)$
• 在定义域内连续
• 当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减
• 值域：$\mathbb{R}$
• 在 $x = 0$ 处不连续（函数无定义）

对数函数的不连续点分析

不连续点：$x = 0$

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处无定义
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
• 这是一个第二类不连续点

特征：

• 函数值趋向负无穷
• 有垂直渐近线 $x = 0$
• 极限不存在（趋向无穷）

复合对数函数的不连续性

例子 1：$f(x) = \ln(x^2 - 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 - 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $x^2 - 1 > 0$，即 $x < -1$ 或 $x > 1$
• 因此连续区间为 $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$
• 在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 处不连续

不连续点分析：

• 不连续点：$x = -1$ 和 $x = 1$
• 在这些点处，内函数 $x^2 - 1 = 0$
• 对数函数在 0 处无定义
• 这些是边界不连续点

例子 2：$f(x) = \ln(\cos x)$

分析：

• 内函数 $h(x) = \cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 需要 $\cos x > 0$
• 因此连续区间为所有使 $\cos x > 0$ 的 $x$ 值
• 在 $\cos x = 0$ 的点处不连续

不连续点分析：

• 不连续点：$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）
• 在这些点处，$\cos x = 0$
• 对数函数在 0 处无定义
• 这些是周期性的不连续点

例子 3：$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

分析：

• 内函数 $h(x) = x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续
• 外函数 $g(x) = \ln x$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续
• 由于 $x^2 + 1 > 0$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立
• 因此 $f(x) = g(h(x))$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续

结论：这个函数在 $\mathbb{R}$ 上处处连续，没有不连续点。

不连续点类型

对数函数的不连续点主要有以下几种类型：

1. 第二类不连续点：极限趋向无穷
2. 无定义点：函数在该点无定义
3. 边界不连续：在定义域边界处不连续

连续性判定

1. 基本对数函数：在 $(0, +\infty)$ 上连续
2. 复合对数函数：需要检查内函数的值域是否在 $(0, +\infty)$ 内
3. 分段对数函数：需要检查分段点处的左右极限和函数值

Exercises

练习 1

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的连续性。

练习 2

判断函数 $f(x) = \ln(x^2 - 1)$ 的连续区间。

练习 3

判断函数 $f(x) = \ln(\cos x)$ 的连续区间。

练习 4

判断函数 $f(x) = \ln x$ 在 $x = 0$ 处的不连续类型。

练习 5

判断函数 $f(x) = \ln|x|$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

Summary

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中英对照