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高等数学之极限的世界

无穷小

无穷小是极限理论中的重要概念，它在极限计算中起着关键作用。

定义

无穷小的定义

若 lim⁡f(x)=0\lim f(x) = 0，则称 f(x)f(x) 为无穷小量。

数学语言

对于任意给定的正数 ε\varepsilon，总存在正数 δ\delta，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < \vert x - x_0 \vert < \delta 时，恒有 ∣f(x)∣<ε\vert f(x) \vert < \varepsilon。

符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（伊普西隆）表示一个任意小的正数
δ\delta希腊字母Delta（德尔塔）表示与 ε\varepsilon 相关的正数

例子：

  • 当 x→0x \to 0 时，xx、x2x^2、sin⁡x\sin x 都是无穷小
  • 当 n→∞n \to \infty 时，1n\frac{1}{n}、1n2\frac{1}{n^2} 都是无穷小

性质

  1. 有限个无穷小的和仍是无穷小
  2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
  3. 有界函数与无穷小的积仍是无穷小

无穷小的比较

定义

无穷小的比较

设 lim⁡α(x)=0\lim \alpha(x) = 0，lim⁡β(x)=0\lim \beta(x) = 0，且 β(x)≠0\beta(x) \neq 0，则：

  1. 高阶无穷小：lim⁡αβ=0\lim \frac{\alpha}{\beta} = 0，记作 α=o(β)\alpha = o(\beta)
  2. 低阶无穷小：lim⁡αβ=∞\lim \frac{\alpha}{\beta} = \infty，记作 β=o(α)\beta = o(\alpha)
  3. 同阶无穷小：lim⁡αβ=C≠0\lim \frac{\alpha}{\beta} = C \neq 0，记作 α=O(β)\alpha = O(\beta)
  4. 等价无穷小：lim⁡αβ=1\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1，记作 α∼β\alpha \sim \beta
符号说明
符号类型读音/说明在本文中的含义
α\alpha希腊字母Alpha（阿尔法）表示无穷小量
β\beta希腊字母Beta（贝塔）表示无穷小量
γ\gamma希腊字母Gamma（伽马）表示无穷小量
o(β)o(\beta)数学符号小 o 记号表示高阶无穷小
O(β)O(\beta)数学符号大 O 记号表示同阶无穷小
∼\sim数学符号等价符号表示等价无穷小

比较的例子

当 x→0x \to 0 时：

  • x2x^2 是 xx 的高阶无穷小：lim⁡x2x=0\lim \frac{x^2}{x} = 0
  • xx 是 x2x^2 的低阶无穷小：lim⁡xx2=∞\lim \frac{x}{x^2} = \infty
  • 2x2x 与 xx 是同阶无穷小：lim⁡2xx=2\lim \frac{2x}{x} = 2
  • sin⁡x\sin x 与 xx 是等价无穷小：lim⁡sin⁡xx=1\lim \frac{\sin x}{x} = 1

等价无穷小

定义

等价无穷小的定义

如果 lim⁡αβ=1\lim \frac{\alpha}{\beta} = 1，则称 α\alpha 与 β\beta 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha \sim \beta。

重要性质

  1. 传递性：若 α∼β\alpha \sim \beta，β∼γ\beta \sim \gamma，则 α∼γ\alpha \sim \gamma
  2. 对称性：若 α∼β\alpha \sim \beta，则 β∼α\beta \sim \alpha
  3. 代换性：在求极限时，可以用等价无穷小进行代换

常用等价无穷小

当 x→0x \to 0 时：

  • sin⁡x∼x\sin x \sim x
  • tan⁡x∼x\tan x \sim x
  • arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim x
  • arctan⁡x∼x\arctan x \sim x
  • 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}
  • ex−1∼xe^x - 1 \sim x
  • ln⁡(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim x
  • (1+x)α−1∼αx(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x

等价无穷小的应用

代换原则：在求极限时，可以将复杂的无穷小用简单的等价无穷小替换。

例子：

  • lim⁡x→0sin⁡3xx=lim⁡x→03xx=3\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3
  • lim⁡x→01−cos⁡xx2=lim⁡x→0x22x2=12\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}

无穷小的阶

定义

无穷小的阶

如果 α∼xn\alpha \sim x^n，则称 α\alpha 是 nn 阶无穷小。

例子

当 x→0x \to 0 时：

  • xx 是一阶无穷小
  • x2x^2 是二阶无穷小
  • 1−cos⁡x1 - \cos x 是二阶无穷小（因为 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}）

练习题

练习 1

判断当 x→0x \to 0 时，x3x^3 与 x2x^2 的关系。

参考答案(1 个标签)
无穷小

解题思路：计算 lim⁡x→0x3x2\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} 来判断关系。

详细步骤：

  1. lim⁡x→0x3x2=lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to 0} x = 0

  2. 由于极限为 0，所以 x3x^3 是 x2x^2 的高阶无穷小。

答案：x3x^3 是 x2x^2 的高阶无穷小。

练习 2

利用等价无穷小求极限 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}。

参考答案(1 个标签)
无穷小

解题思路：利用等价无穷小代换简化计算。

详细步骤：

  1. 当 x→0x \to 0 时，tan⁡x∼x\tan x \sim x，sin⁡x∼x\sin x \sim x

  2. 但是 tan⁡x−sin⁡x\tan x - \sin x 不能直接代换，需要进一步处理

  3. tan⁡x−sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x(1cos⁡x−1)=sin⁡x⋅1−cos⁡xcos⁡x\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{1 - \cos x}{\cos x}

  4. 当 x→0x \to 0 时，sin⁡x∼x\sin x \sim x，1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}，cos⁡x→1\cos x \to 1

  5. 所以 tan⁡x−sin⁡x∼x⋅x22=x32\tan x - \sin x \sim x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}

  6. 因此 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3=lim⁡x→0x32x3=12\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}

答案：极限值为 12\frac{1}{2}。

练习 3

判断数列 xn=1n2x_n = \frac{1}{n^2} 是否为无穷小数列。

参考答案(1 个标签)
无穷小

解题思路：判断 lim⁡n→∞1n2\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} 是否为 0。

详细步骤：

  1. lim⁡n→∞1n2=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0

  2. 因此 xn=1n2x_n = \frac{1}{n^2} 是无穷小数列。

答案：是无穷小数列。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ε\varepsilon希腊字母Epsilon（伊普西隆）表示一个任意小的正数
δ\delta希腊字母Delta（德尔塔）表示与 ε\varepsilon 相关的正数
α\alpha希腊字母Alpha（阿尔法）表示无穷小量
β\beta希腊字母Beta（贝塔）表示无穷小量
γ\gamma希腊字母Gamma（伽马）表示无穷小量
o(β)o(\beta)数学符号小 o 记号表示高阶无穷小
O(β)O(\beta)数学符号大 O 记号表示同阶无穷小
∼\sim数学符号等价符号表示等价无穷小
lim⁡\lim数学符号极限表示函数或数列的极限
→\to数学符号趋向于表示变量趋向于某个值

中英对照

中文术语英文术语音标说明
无穷小infinitesimal/ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/极限为 0 的函数或数列
高阶无穷小higher order infinitesimal/ˈhaɪə ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/比另一个无穷小更快趋于 0
低阶无穷小lower order infinitesimal/ˈləʊə ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/比另一个无穷小更慢趋于 0
同阶无穷小same order infinitesimal/seɪm ˈɔːdə ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/两个无穷小的比值趋于非零常数
等价无穷小equivalent infinitesimal/ɪˈkwɪvələnt ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/两个无穷小的比值趋于 1
无穷小的阶order of infinitesimal/ˈɔːdə əv ˌɪnfɪnɪˈtesɪməl/无穷小与 xnx^n 的等价关系
小 o 记号little-o notation/ˈlɪtəl əʊ nəʊˈteɪʃən/表示高阶无穷小的记号
大 O 记号big-O notation/bɪɡ əʊ nəʊˈteɪʃən/表示同阶无穷小的记号
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极限的基本概念
从数列与函数两个角度理解极限的直观概念，为后续极限理论打基础。
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无穷大
无穷大的定义与性质，无穷大与无穷小的关系。