有界性定理

有界性定理是闭区间上连续函数的最基础性质，它保证了连续函数在闭区间上不会”跑到无穷远”。

定理内容

几何意义

有界性定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像被两条水平线”夹住”。

具体来说：

• 存在上界：函数值不会超过某个上限
• 存在下界：函数值不会低于某个下限
• 图像被限制在一个水平带状区域内

证明思路

反证法证明

1. 假设函数无界

   • 假设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界

2. 构造数列

   • 对于任意正整数 $n$，存在 $x_n \in [a, b]$ 使得 $|f(x_n)| > n$

3. 利用有界数列必有收敛子列

   • 数列 $\{x_n\}$ 有界，必有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$
   • 设 $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a, b]$

4. 利用连续性

   • 由于 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续
   • $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$

5. 得出矛盾

   • 但 $|f(x_{n_k})| > n_k \to \infty$
   • 这与 $f(x_{n_k}) \to f(x_0)$ 矛盾

6. 结论

   • 假设不成立，函数必有界

应用例子

例子 1：多项式函数

问题：证明函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上有界。

解：

• 函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上连续
• 根据有界性定理，函数有界
• 实际上，对于 $x \in [0, 2]$，有 $0 \leq f(x) = x^2 \leq 4$
• 因此可取 $M = 4$

例子 2：三角函数

问题：证明函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上有界。

解：

• 函数 $f(x) = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上连续
• 根据有界性定理，函数有界
• 实际上，对于 $x \in [0, \pi]$，有 $0 \leq f(x) = \sin x \leq 1$
• 因此可取 $M = 1$

例子 3：反例（开区间）

问题：函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上是否有界？

解：

• 函数在 $(0, 1]$ 上连续
• 但 $(0, 1]$ 不是闭区间
• 当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to +\infty$
• 因此函数无界
• 说明：有界性定理只适用于闭区间

注意事项

1. 区间必须是闭区间

有界性定理只适用于闭区间，对于开区间或半开半闭区间，结论不一定成立。

反例：

• $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上无界
• $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 上有界但无最大值

2. 函数必须连续

如果函数在闭区间上不连续，有界性定理不适用。

反例：

• $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & 0 < x \leq 1 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $[0, 1]$ 上不连续且无界

3. 有界不等于有最值

有界性定理只保证函数有界，不保证能取到最大值和最小值。

例子：

• $f(x) = x$ 在 $(0, 1)$ 上有界（$0 < f(x) < 1$）
• 但无法取到上确界 1 和下确界 0

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练习题

练习 1

证明函数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ 在 $[0, 3]$ 上有界。

练习 2

举出一个在 $[0, 1)$ 上连续但无界的函数，并说明理由。

练习 3

设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，试说明 $f(x)$ 是否一定有界。

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总结

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中英对照