左右极限法

对于分段函数，可以分别计算左右极限。

判定原则

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续，当且仅当：

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

判定步骤

1. 计算左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$
2. 计算右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$
3. 计算函数值：$f(x_0)$
4. 比较三者：如果三者相等，则连续；否则不连续

应用例子

例子 1：判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处的连续性

解：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$
3. 函数值：$f(1) = 1^2 = 1$
4. 三者相等
5. 结论：函数在 $x = 1$ 处连续

例子 2：判断函数 $f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性

解：

1. 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
2. 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
3. 函数值：$f(0) = 1$
4. 左极限 ≠ 右极限
5. 结论：函数在 $x = 0$ 处不连续

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练习题

练习 1

使用左右极限法判断 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

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总结

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中英对照