第一类间断点

第一类间断点是间断点的重要类型，其特征是左、右极限都存在。

定义

第一类间断点又分为两种：

可去间断点

定义

特征

• 左极限等于右极限
• 极限值与函数值不相等（或函数值无定义）
• 可以通过重新定义函数值使函数在该点连续

例子

例子 1：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处

分析：

• 函数在 $x = 1$ 处无定义
• $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
• 极限存在但函数值无定义
• 因此 $x = 1$ 是可去间断点

例子 2：$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 函数在 $x = 0$ 处有定义，$f(0) = 0$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
• 极限存在但不等于函数值
• 因此 $x = 0$ 是可去间断点

处理方法

对于可去间断点，可以通过重新定义函数值使其连续：

重新定义函数值：

• 将函数在该点的值定义为极限值
• 使函数在该点连续

例子：

• 原函数：$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
• 重新定义：$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$
• 重新定义后，函数在 $x = 1$ 处连续

跳跃间断点

定义

特征

• 左极限不等于右极限
• 函数图像在该点有”跳跃”
• 无法通过重新定义函数值使函数连续

例子

例子 1：$f(x) = \begin{cases} x, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处

分析：

• 左极限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
• 右极限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
• 函数值：$f(0) = 1$
• 左极限不等于右极限
• 因此 $x = 0$ 是跳跃间断点

例子 2：$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x, & x > 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处

分析：

• 左极限：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$
• 右极限：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$
• 函数值：$f(1) = 1$
• 左极限不等于右极限
• 因此 $x = 1$ 是跳跃间断点

处理方法

跳跃间断点无法通过重新定义函数值使其连续，但可以：

分析跳跃大小：

• 计算跳跃的大小：$|\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x)|$
• 分析跳跃对函数性质的影响

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练习题

练习 1

判断函数 $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 在 $x = 3$ 处的间断点类型。

练习 2

判断函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x + 1, & x \geq 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

练习 3

判断函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ 在 $x = 0$ 处的间断点类型。

练习 4

已知 $f(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2 - x, & x \geq 1 \end{cases}$，判断 $x = 1$ 处的间断点类型。

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总结

本文出现的符号

中英对照