定义法

直接使用连续性的定义进行判定。

判定步骤

1. 检查函数在该点是否有定义

   • 如果函数在该点无定义，则函数在该点不连续

2. 计算函数在该点的极限

   • 计算 $\lim_{x \to x_0} f(x)$
   • 如果极限不存在，则函数在该点不连续

3. 比较极限值与函数值

   • 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则函数在该点连续
   • 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$，则函数在该点不连续

应用例子

例子 1：判断函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在 $x = 2$ 处的连续性

解：

1. 函数在 $x = 2$ 处有定义：$f(2) = 2^2 + 1 = 5$
2. 计算极限：$\lim_{x \to 2} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$
3. 比较：$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 5$
4. 结论：函数在 $x = 2$ 处连续

例子 2：判断函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性

解：

1. 函数在 $x = 0$ 处无定义
2. 结论：函数在 $x = 0$ 处不连续

练习题

练习 1

使用定义法判断函数 $f(x) = x^3$ 在 $x = 1$ 处的连续性。