最值定理
最值定理保证了连续函数在闭区间上不仅有界，而且能够取到最大值和最小值。
定理内容
在闭区间 [a,b] 上连续的函数 f(x) 必能取到最大值和最小值，即存在 x1,x2∈[a,b]，使得：
- f(x1)=maxx∈[a,b]f(x)
- f(x2)=minx∈[a,b]f(x)
几何意义
最值定理的几何意义是：连续函数在闭区间上的图像有最高点和最低点。
证明思路
- 利用有界性：函数有界，因此有上确界和下确界
- 构造数列：构造收敛到上确界和下确界的数列
- 利用连续性：利用函数在极限点的连续性
- 证明最值存在：证明上确界和下确界就是最大值和最小值
应用例子
例子 1：多项式函数
问题：求函数 f(x)=x2−2x+1 在 [0,3] 上的最大值和最小值。
解：
- 函数在 [0,3] 上连续
- 根据最值定理，函数能取到最大值和最小值
- f(x)=(x−1)2
- 最小值在 x=1 处，f(1)=0
- 最大值在 x=3 处，f(3)=4
例子 2：三角函数
问题：求函数 f(x)=sinx 在 [0,2π] 上的最大值和最小值。
希腊字母，读作“派”，表示圆周率。在本文中用于表示角度（如
2π、π、2π）。
解：
- 函数在 [0,2π] 上连续
- 最大值：f(2π)=1
- 最小值：f(23π)=−1
练习题
练习 1
设 f(x) 在 [a,b] 上连续，试说明 f(x) 是否一定能取到最大最小值。
闭区间连续性质最值定理介值定理
解题思路：
直接应用最值定理。该定理的前提是函数在闭区间上连续，闭区间保证能同时取到最大值与最小值。
详细步骤：
- 定理陈述：若 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上必能取到最大值 maxx∈[a,b]f(x) 与最小值 minx∈[a,b]f(x)。
- 核对前提：题设 f(x) 在 [a,b] 上连续，满足定理的适用条件。
- 由定理直接得到结论：f(x) 在该区间上一定能取到最大值和最小值。
- 说明：若区间不是闭区间，结论可能不成立，例如 f(x)=1−x1 在 [0,1) 上连续但取不到最大值。
最终答案：一定能取到最大值和最小值。
练习 2
求函数 f(x)=x3−3x 在 [−2,2] 上的最大值和最小值。
闭区间连续性质最值定理介值定理
解题思路：利用最值定理和求导。
详细步骤：
- 函数在 [−2,2] 上连续，必有最值
- f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=0，得 x=±1
- 计算关键点的函数值：
- f(−2)=−2
- f(−1)=2
- f(1)=−2
- f(2)=2
- 最大值为 2，最小值为 -2
最终答案：最大值为 2，最小值为 -2。
总结
本文出现的符号
| 符号 | 类型 | 读音/说明 | 在本文中的含义 |
|---|
| π | 希腊字母 | Pi（派） | 圆周率，用于表示角度（如 2π） |
中英对照
| 中文术语 | 英文术语 | 音标 | 说明 |
|---|
| 最值定理 | extreme value theorem | /ɪkˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | 闭区间上连续函数必能取到最大值和最小值的定理 |
| 最大值 | maximum value | /ˈmæksɪməm ˈvæljuː/ | 函数的最大值 |
| 最小值 | minimum value | /ˈmɪnɪməm ˈvæljuː/ | 函数的最小值 |
| 上确界 | supremum | /suːˈpriːməm/ | 函数值的上确界 |
| 下确界 | infimum | /ɪnˈfaɪməm/ | 函数值的下确界 |
