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数列

极限的运算

极限的运算法则让我们能够通过已知极限计算复杂表达式的极限。

四则运算法则

设 lim⁡n→∞an=A\lim_{n \to \infty} a_n = A，lim⁡n→∞bn=B\lim_{n \to \infty} b_n = B，则：

1. 和差法则

和差法则
lim⁡n→∞(an±bn)=A±B\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B

2. 数乘法则

数乘法则
lim⁡n→∞(c⋅an)=c⋅A(c 为常数)\lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot A \quad (c \text{ 为常数})

3. 乘积法则

乘积法则
lim⁡n→∞(an⋅bn)=A⋅B\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B

4. 商法则

商法则
lim⁡n→∞anbn=AB(B≠0)\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)

应用示例

示例1：分式极限

求 lim⁡n→∞3n2+2n+12n2−n+5\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n + 1}{2n^2 - n + 5}

解：

分子分母同除以 n2n^2：

lim⁡n→∞3+2n+1n22−1n+5n2=3+0+02−0+0=32\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}

示例2：组合运算

求 lim⁡n→∞(2n+1n−n+3n)\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{n} - \frac{n+3}{n}\right)

解：

lim⁡n→∞(2n+1n−n+3n)=lim⁡n→∞n−2n=lim⁡n→∞(1−2n)=1\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{n} - \frac{n+3}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n-2}{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{2}{n}\right) = 1

示例3：乘积形式

求 lim⁡n→∞n+1n⋅2nn+2\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n}{n+2}

解：

lim⁡n→∞n+1n⋅2nn+2=lim⁡n→∞(n+1)⋅2nn(n+2)=lim⁡n→∞2n2+2nn2+2n=2\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} \cdot \frac{2n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot 2n}{n(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 2n}{n^2 + 2n} = 2

常用技巧

技巧1：提取最高次项

对于分式，分子分母同除以最高次项：

lim⁡n→∞aknk+⋯+a0bmnm+⋯+b0={akbm,k=m0,k<m∞,k>m\lim_{n \to \infty} \frac{a_k n^k + \cdots + a_0}{b_m n^m + \cdots + b_0} = \begin{cases} \frac{a_k}{b_m}, & k = m \\ 0, & k < m \\ \infty, & k > m \end{cases}

技巧2：有理化

lim⁡n→∞(n+1−n)=lim⁡n→∞1n+1+n=0\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0

练习题

练习 1

求 lim⁡n→∞5n3−2n+13n3+n2\lim_{n \to \infty} \frac{5n^3 - 2n + 1}{3n^3 + n^2}

数列极限运算

解题思路：

分子分母同除以最高次幂 n3n^3，把极限化为两个有理式的极限之和。

详细步骤：

分子分母同除以 n3n^3：

lim⁡n→∞5−2n2+1n33+1n=53\lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{5}{3}

最终答案：53\frac{5}{3}

练习 2

求 lim⁡n→∞n2+1n+1\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1}

数列极限运算

解题思路：

分子次数高于分母，直接按有理函数极限的规则判断：极限为无穷，序列发散。

详细步骤：

分子次数高于分母，极限为无穷：

lim⁡n→∞n2+1n+1=lim⁡n→∞n(n+1n)n(1+1n)=lim⁡n→∞n+1n1+1n=∞\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n + \frac{1}{n})}{n(1 + \frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \infty

最终答案：发散（趋于无穷）

练习 3

求 lim⁡n→∞(n2+n−n)\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)

数列极限运算

解题思路：

先把根式差有理化，再用四则运算的极限性质。

详细步骤：

有理化：

lim⁡n→∞(n2+n−n)=lim⁡n→∞(n2+n−n)(n2+n+n)n2+n+n\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n}

=lim⁡n→∞n2+n−n2n2+n+n=lim⁡n→∞nn2+n+n= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}

=lim⁡n→∞11+1n+1=12= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{2}

最终答案：12\frac{1}{2}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
an,bna_n, b_n数学符号a/b-sub-n数列
A,BA, B数学符号A, B数列的极限值
cc数学符号c常数
lim⁡n→∞\lim_{n \to \infty}数学符号limit as n approaches infinitynn 趋于无穷时的极限
±\pm数学符号plus or minus加或减
n\sqrt{n}数学符号square root of nnn 的平方根
∞\infty数学符号infinity无穷大
nk,nmn^k, n^m数学符号n to the k/mnn 的幂次

中英对照

中文术语英文术语音标说明
四则运算four arithmetic operations/fɔː ˌærɪθˈmetɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/加减乘除
有理化rationalization/ˌræʃənəlaɪˈzeɪʃən/消除根号的技巧
收敛数列convergent sequence/kənˈvɜːdʒənt ˈsiːkwəns/存在极限的数列
商法则quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/极限的除法运算
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