快易知
数列

aₙ₊₁ = qaₙ 型

这种递推关系对应等比数列，体现了指数增长的特征。

递推关系

等比型递推关系
an+1=qan(q≠0 为常数)a_{n+1} = qa_n \quad (q \neq 0 \text{ 为常数})

含义：每一项都是前一项的 qq 倍。

求解方法

从递推关系出发：

a2=qa1a3=qa2=q2a1a4=qa3=q3a1⋮an=qn−1a1\begin{aligned} a_2 &= qa_1 \\ a_3 &= qa_2 = q^2 a_1 \\ a_4 &= qa_3 = q^3 a_1 \\ &\vdots \\ a_n &= q^{n-1} a_1 \end{aligned}
通项公式
an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

这正是等比数列的通项公式！

应用示例

示例1：基本求解

已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=2a_1 = 2，an+1=3ana_{n+1} = 3a_n，求 ana_n。

解：

这是 an+1=qana_{n+1} = qa_n 型，其中 q=3q = 3。

an=a1⋅qn−1=2⋅3n−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}

示例2：细菌繁殖

某种细菌每小时分裂一次，每次分裂成2个。初始有1个细菌，求 nn 小时后细菌的数量。

解：

设 nn 小时后细菌数量为 ana_n，则：

  • a1=1a_1 = 1
  • an+1=2ana_{n+1} = 2a_n

这是等比型递推，q=2q = 2：

an=1⋅2n−1=2n−1a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}

示例3：复利计算

存入银行10000元，年利率5%，按复利计算，nn 年后本利和是多少？

解：

设 nn 年后本利和为 ana_n 元，则：

  • a1=10000a_1 = 10000
  • an+1=an×(1+5%)=1.05ana_{n+1} = a_n \times (1 + 5\%) = 1.05a_n

这是等比型递推，q=1.05q = 1.05：

an=10000⋅1.05n−1a_n = 10000 \cdot 1.05^{n-1}

练习题

练习 1

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1=2ana_{n+1} = 2a_n，求 a6a_6。

递推关系等比数列通项公式

解题思路： 递推式 an+1=2ana_{n+1} = 2a_n 中后项是前项的固定倍数，是等比型递推，等价于公比 q=2q = 2 的等比数列。

详细步骤：

  1. 判断类型：an+1/an=2a_{n+1} / a_n = 2 恒为常数，故为等比型递推，q=2q = 2。
  2. 代入等比数列通项：a6=3⋅26−1=3⋅32=96a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} = 3 \cdot 32 = 96

最终答案：a6=96a_6 = 96

练习 2

数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=8a_1 = 8，an+1=12ana_{n+1} = \frac{1}{2}a_n，求通项公式。

递推关系等比数列

解题思路：

先由递推式判断这是等比型递推并求出公比，再代入等比数列通项公式。

详细步骤：

这是等比型递推，q=12q = \frac{1}{2}。

an=8⋅(12)n−1=8⋅12n−1=82n−1=232n−1=24−na_n = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 8 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{8}{2^{n-1}} = \frac{2^3}{2^{n-1}} = 2^{4-n}

最终答案：an=24−na_n = 2^{4-n} 或 an=162na_n = \frac{16}{2^n}

练习 3

数列 {an}\{a_n\} 满足 a3=12a_3 = 12，an+1=3ana_{n+1} = 3a_n，求 a1a_1 和通项公式。

递推关系等比数列

解题思路：

先由递推式判断这是等比型递推并求出公比，再由首项写出通项公式。

详细步骤：

这是等比型递推，q=3q = 3，通项公式为 an=a1⋅3n−1a_n = a_1 \cdot 3^{n-1}。

由 a3=12a_3 = 12： a1⋅33−1=12a_1 \cdot 3^{3-1} = 12 a1⋅9=12a_1 \cdot 9 = 12 a1=43a_1 = \frac{4}{3}

因此通项公式为： an=43⋅3n−1=4⋅3n−13=4⋅3n−131=4⋅3n−2a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^{n-1} = \frac{4 \cdot 3^{n-1}}{3} = \frac{4 \cdot 3^{n-1}}{3^1} = 4 \cdot 3^{n-2}

最终答案：a1=43a_1 = \frac{4}{3}，an=43⋅3n−1a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^{n-1}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
an,an+1a_n, a_{n+1}数学符号a-sub-n / a-sub-n-plus-one数列的第 nn、n+1n+1 项
qq数学符号q公比（常数）
a1a_1数学符号a-sub-one数列首项
nn数学符号n项数
{an}\{a_n\}数学符号set of a-sub-n数列

中英对照

中文术语英文术语音标说明
等比型geometric type/ˌdʒiːəˈmetrɪk taɪp/形如 an+1=qana_{n+1} = qa_n 的递推
公比common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃiəʊ/等比数列中相邻项的比
指数增长exponential growth/ˌekspəˈnenʃəl ɡrəʊθ/按固定倍数增长
通项公式general term formula/ˈdʒenərəl tɜːm ˈfɔːmjələ/用 nn 直接表示第 nn 项的公式
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aₙ₊₁ = aₙ + d 型
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