aₙ₊₁ = qaₙ 型

这种递推关系对应等比数列，体现了指数增长的特征。

递推关系

含义：每一项都是前一项的 $q$ 倍。

求解方法

从递推关系出发：

$$\begin{aligned} a_2 &= qa_1 \\ a_3 &= qa_2 = q^2 a_1 \\ a_4 &= qa_3 = q^3 a_1 \\ &\vdots \\ a_n &= q^{n-1} a_1 \end{aligned}$$

这正是等比数列的通项公式！

应用示例

示例1：基本求解

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3a_n$，求 $a_n$。

解：

这是 $a_{n+1} = qa_n$ 型，其中 $q = 3$。

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

示例2：细菌繁殖

某种细菌每小时分裂一次，每次分裂成2个。初始有1个细菌，求 $n$ 小时后细菌的数量。

解：

设 $n$ 小时后细菌数量为 $a_n$，则：

• $a_1 = 1$
• $a_{n+1} = 2a_n$

这是等比型递推，$q = 2$：

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$

示例3：复利计算

存入银行10000元，年利率5%，按复利计算，$n$ 年后本利和是多少？

解：

设 $n$ 年后本利和为 $a_n$ 元，则：

• $a_1 = 10000$
• $a_{n+1} = a_n \times (1 + 5\%) = 1.05a_n$

这是等比型递推，$q = 1.05$：

$a_n = 10000 \cdot 1.05^{n-1}$

练习题

练习 1

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$a_{n+1} = 2a_n$，求 $a_6$。

练习 2

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 8$，$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$，求通项公式。

练习 3

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3 = 12$，$a_{n+1} = 3a_n$，求 $a_1$ 和通项公式。

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总结

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中英对照