极限的性质

解：

因为 $-1 \leq \cos n \leq 1$，所以 $-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\cos n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$

而 $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

由夹逼定理，$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2} = 0$

解：

首先证明单调性： $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{2}{2n+2} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} > 0$

所以 $\{a_n\}$ 单调递增。

再证明有界性： $a_n = \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} < \frac{n}{n+1} < 1$

由单调收敛定理，$\{a_n\}$ 收敛。

解：

$\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2}$

或用夹逼： $\frac{n \cdot n}{n^2} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq \frac{n \cdot n}{n^2}$

但这不对。正确的夹逼： $\frac{n \cdot 1}{n^2} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq \frac{n \cdot n}{n^2}$

即 $\frac{1}{n} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq 1$

这个范围太宽。直接计算更简单。

答案：$\frac{1}{2}$