极限的性质

极限具有一些重要的性质，这些性质是进行极限计算和证明的基础。

唯一性

极限的唯一性

如果数列 $\{a_n\}$ 收敛，则其极限是唯一的。

含义：一个收敛数列不可能同时趋于两个不同的数。

有界性

收敛数列的有界性

如果数列 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 必定有界。

含义：收敛数列的所有项都在某个范围内。

注意：有界是收敛的必要条件，但不是充分条件。

反例： $a_n = (-1)^n$ 有界但不收敛。

保号性

极限的保号性

如果 $\lim_{n \to \infty} a_n = A > 0$ ，则存在 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_n > 0$ 。

含义：如果极限为正，则从某项开始，所有项都为正。

夹逼定理（Squeeze Theorem）

夹逼定理

如果存在 $N$ ，当 $n > N$ 时，有 $b_n \leq a_n \leq c_n$ ，且 $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = A$ ，则 $\lim_{n \to \infty} a_n = A$ 。

直观理解：如果 $a_n$ 被”夹”在两个趋于同一极限的数列之间，那么 $a_n$ 也趋于这个极限。

应用示例：

求 $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$

因为 $-1 \leq \sin n \leq 1$ ，所以 $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$

而 $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

由夹逼定理， $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$

单调收敛定理

单调有界数列必定收敛。

具体地：

单调递增且有上界的数列必定收敛
单调递减且有下界的数列必定收敛

应用：这个定理常用于证明数列收敛，即使我们不知道极限值是多少。

练习题

练习 1

用夹逼定理求： $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2}$

参考答案(1 个标签)

数列极限性质

解：

因为 $-1 \leq \cos n \leq 1$ ，所以 $-\frac{1}{n^2} \leq \frac{\cos n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$

而 $\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n^2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$

由夹逼定理， $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2} = 0$

练习 2

证明：数列 $a_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}$ 收敛。

参考答案(1 个标签)

数列极限性质

解：

首先证明单调性： $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{2}{2n+2} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} > 0$

所以 $\{a_n\}$ 单调递增。

再证明有界性： $a_n = \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n} < \frac{n}{n+1} < 1$

由单调收敛定理， $\{a_n\}$ 收敛。

练习 3

用夹逼定理求： $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2}$

参考答案(1 个标签)

数列极限性质

解：

$\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2}$

或用夹逼： $\frac{n \cdot n}{n^2} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq \frac{n \cdot n}{n^2}$

但这不对。正确的夹逼： $\frac{n \cdot 1}{n^2} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq \frac{n \cdot n}{n^2}$

即 $\frac{1}{n} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} \leq 1$

这个范围太宽。直接计算更简单。

答案： $\frac{1}{2}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$a_n, b_n, c_n$	数学符号	a/b/c-sub-n	数列
$A$	数学符号	A	数列的极限值
$N$	数学符号	N	项数阈值
$(-1)^n$	数学符号	minus one to the n	交错符号
$\sin n, \cos n$	数学符号	sine/cosine of n	三角函数
$\leq$	数学符号	less than or equal to	小于或等于
$\infty$	数学符号	infinity	无穷大

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
唯一性	uniqueness	/juːˈniːknəs/	极限只有一个
有界性	boundedness	/ˈbaʊndɪdnəs/	数列在某个范围内
夹逼定理	squeeze theorem	/skwiːz ˈθɪərəm/	也叫夹挤定理
单调收敛定理	monotone convergence theorem	/ˈmɒnətəʊn kənˈvɜːdʒəns ˈθɪərəm/	单调有界必收敛
保号性	sign-preserving property	/saɪn prɪˈzɜːvɪŋ ˈprɒpəti/	极限的符号与数列项一致

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极限的定义

数列极限的 ε-N 定义、几何直观与收敛性的理解。

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极限的运算

数列极限的四则运算法则、常用技巧与分式极限计算。