证明不等式

用数学归纳法证明不等式需要更多技巧，特别是在归纳步骤中常常需要巧妙的放缩。

证明策略

证明不等式 $f(n) \geq g(n)$（或 $f(n) \leq g(n)$）的关键：

常用放缩方法：

• 添加或减去正项
• 利用已知不等式（如 $2^n > n$）
• 分式放缩

应用示例

示例1：指数大于多项式

命题：证明 $2^n > n^2$ 对所有 $n \geq 5$ 成立。

证明：

基础步骤：$n = 5$ 时，$2^5 = 32 > 25 = 5^2$，成立。

归纳假设：假设 $2^k > k^2$（$k \geq 5$）

归纳步骤：需要证明 $2^{k+1} > (k+1)^2$

$$\begin{aligned} 2^{k+1} &= 2 \cdot 2^k \\ &> 2k^2 \quad \text{（归纳假设）} \end{aligned}$$

现在需要证明 $2k^2 > (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$

即证明 $k^2 > 2k + 1$，即 $k^2 - 2k - 1 > 0$

当 $k \geq 5$ 时，$k^2 - 2k - 1 = (k-1)^2 - 2 \geq 16 - 2 = 14 > 0$

因此 $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$

结论：由数学归纳法，不等式对所有 $n \geq 5$ 成立。

示例2：伯努利不等式

命题：证明 $(1+x)^n \geq 1 + nx$，其中 $x > -1$，$n \in \mathbb{N}^*$

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，$(1+x)^1 = 1 + x \geq 1 + x$，成立。

归纳假设：假设 $(1+x)^k \geq 1 + kx$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} (1+x)^{k+1} &= (1+x)^k \cdot (1+x) \\ &\geq (1 + kx)(1 + x) \quad \text{（归纳假设，因为 $1+x > 0$）} \\ &= 1 + kx + x + kx^2 \\ &= 1 + (k+1)x + kx^2 \\ &\geq 1 + (k+1)x \quad \text{（因为 $kx^2 \geq 0$）} \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，不等式成立。

示例3：调和级数发散

命题：证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^n} > \frac{n}{2}$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。

证明：

基础步骤：$n = 1$ 时，$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{1}{2}$，成立。

归纳假设：假设 $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^k} > \frac{k}{2}$

归纳步骤：

$$\begin{aligned} &1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k+1} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}} \\ &> \frac{k}{2} + \frac{1}{2^k+1} + \cdots + \frac{1}{2^{k+1}} \quad \text{（归纳假设）} \end{aligned}$$

从 $2^k+1$ 到 $2^{k+1}$ 共有 $2^k$ 项，每项都 $\geq \frac{1}{2^{k+1}}$：

$$\begin{aligned} &> \frac{k}{2} + 2^k \cdot \frac{1}{2^{k+1}} \\ &= \frac{k}{2} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{k+1}{2} \end{aligned}$$

结论：由数学归纳法，不等式成立。

练习题

练习 1

证明：$n! > 2^n$ 对所有 $n \geq 4$ 成立。

练习 2

证明：$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$ 对所有 $n \geq 2$ 成立。

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总结

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中英对照