高级练习

解：

注意到 $k \times k! = (k+1)! - k!$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} k \times k! = \sum_{k=1}^{n} [(k+1)! - k!]$

$= (2! - 1!) + (3! - 2!) + \cdots + ((n+1)! - n!)$

$= (n+1)! - 1$

答案：$(n+1)! - 1$

解：

取倒数：$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1$

令 $b_n = \frac{1}{a_n}$，则 $b_{n+1} = b_n + 1$，$b_1 = 1$

这是等差数列，$b_n = n$

$a_n = \frac{1}{n}$

答案：$a_n = \frac{1}{n}$

解：

利用对称性：$\sin k° = \sin(180° - k°)$

$S_n = \sum_{k=1}^{180} \sin k° = \sum_{k=1}^{90} [\sin k° + \sin(180° - k°)] = 2\sum_{k=1}^{90} \sin k°$

但这仍然复杂。更简单的方法：

利用 $\sin 90° = 1$，其他项两两抵消（$\sin k° + \sin(180°-k°) = 2\sin 90° \cos(90°-k°)$）

实际上，利用复数或三角恒等式可以证明：

$S_n = \frac{\sin(\frac{180°}{2}) \sin(\frac{181°}{2})}{\sin(\frac{1°}{2})} = \frac{1}{\sin 0.5°}$

答案：约 $\frac{1}{\sin 0.5°} \approx 114.6$

解：

夹逼定理：

$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} < S_n < \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = 1$

答案：1

证明：

利用 $1 + x = \frac{1 - x^2}{1 - x}$（当 $x \neq 1$）

$\left(1 + \frac{1}{2^k}\right) = \frac{1 - \frac{1}{2^{2k}}}{1 - \frac{1}{2^k}} = \frac{2^{2k} - 1}{2^{2k}} \cdot \frac{2^k}{2^k - 1}$

实际上，更简单的方法：

$P_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{2^k}\right) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2^k + 1}{2^k}$

取对数：$\ln P_n = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{2^k}\right)$

当 $n \to \infty$ 时，$P_n \to 2$（可以通过数值验证或更严格的证明）

答案：2

证明（数学归纳法）：

基础步骤：$n = 1$ 时，左边 $= 1$，右边 $= F_3 - 1 = 2 - 1 = 1$，成立。

归纳假设：假设 $F_1 + \cdots + F_k = F_{k+2} - 1$

归纳步骤： $F_1 + \cdots + F_k + F_{k+1} = (F_{k+2} - 1) + F_{k+1} = F_{k+3} - 1$

结论：由数学归纳法，等式成立。

解（特征方程法）：

设 $a_n = r^n$，代入递推关系：

$r^{n+2} = r^{n+1} + r^n$ $r^2 = r + 1$ $r^2 - r - 1 = 0$

$r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

通解：$a_n = A\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + B\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$

由初始条件确定 $A, B$…

答案（Binet公式）：

$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$