基础练习

解题思路：

用等差数列通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 表示首项与公差，再由题目给出的两个条件联立求解。

详细步骤：

由等差数列通项公式： $a_3 = a_1 + 2d = 7$ $a_7 = a_1 + 6d = 15$

两式相减：$4d = 8$，得 $d = 2$

代入第一式：$a_1 = 7 - 4 = 3$

最终答案：$a_1 = 3$，$d = 2$

解题思路：

先利用等差数列前 $n$ 项和的性质：$S_5$、$S_{10}-S_5$、$S_{15}-S_{10}$ 本身成等差数列，再由此求出 $S_{15}$。

详细步骤：

等差数列前 $n$ 项和的性质：$S_5, S_{10} - S_5, S_{15} - S_{10}$ 成等差数列。

$S_5 = 25$，$S_{10} - S_5 = 75$

公差为 $75 - 25 = 50$

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

最终答案：$S_{15} = 225$

解题思路： 等差数列中下标和相等的两项关于中间项对称，即 $a_{n-k} + a_{n+k} = 2a_n$。本题中 $a_1$ 与 $a_9$ 恰好关于 $a_5$ 对称，因此可以把已知条件拆成这一对。

详细步骤：

1. 由对称性质：$a_1 + a_9 = 2a_5$。
2. 代入已知：$a_1 + a_5 + a_9 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 27$。
3. 解得：$a_5 = 27 \div 3 = 9$。

最终答案：$a_5 = 9$

解题思路：

先用等比数列通项公式求出相邻两项的比值 $q$，再由其中一项反解首项。

详细步骤：

$\frac{a_5}{a_2} = q^3 = \frac{48}{6} = 8$

$q = 2$

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$

最终答案：$q = 2$，$a_1 = 3$

解题思路：

先由前几项的累加关系求出 $S_n$ 与 $a_n$ 的递推关系，再用归纳法得到 $a_n$ 的表达式。

详细步骤：

当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = 1$

当 $n \geq 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1}$

验证 $n = 1$：$a_1 = 2^0 = 1$ ✓

最终答案：$a_n = 2^{n-1}$

解题思路：

先判断这是等差数列，求出首项与公差，再套用前 $n$ 项和公式。

详细步骤：

这是首项 $a_1 = 1$，公差 $d = 2$，末项 $a_n = 99$ 的等差数列。

项数：$n = \frac{99 - 1}{2} + 1 = 50$

$S_{50} = \frac{50 \times (1 + 99)}{2} = 2500$

最终答案：2500

解题思路：

先判断这是等比数列，求出首项与公比，再套用前 $n$ 项和公式。

详细步骤：

这是首项 $a_1 = 1$，公比 $q = 2$ 的等比数列。

$512 = 2^9$，所以共10项。

$S_{10} = \frac{1 \times (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 1023$

最终答案：1023

解题思路：

先用裂项相消 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ 把求和式化为首尾相减。

详细步骤：

裂项相消：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

最终答案：$\frac{99}{100}$

解题思路：

先把原式改写成便于累加的形式，用累加法逐项相消求出通项。

详细步骤：

累加法： $a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

$a_n = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

最终答案：$a_n = n^2 - n + 1$

解题思路： 递推式 $a_{n+1} = 2a_n$ 的公比恒为 2，是等比数列，因此直接套用通项公式 $a_n = a_1 q^{n-1}$。

详细步骤：

1. 由 $a_{n+1} = 2a_n$ 判断这是等比数列，$q = 2$。
2. 代入通项公式：$a_n = 2 \times 2^{n-1} = 2^n$。
3. 验证 $n = 1$：$a_1 = 2^1 = 2$，与题设一致。

最终答案：$a_n = 2^n$