基础练习

解：

由等差数列通项公式： $a_3 = a_1 + 2d = 7$ $a_7 = a_1 + 6d = 15$

两式相减：$4d = 8$，得 $d = 2$

代入第一式：$a_1 = 7 - 4 = 3$

答案：$a_1 = 3$，$d = 2$

解：

等差数列前 $n$ 项和的性质：$S_5, S_{10} - S_5, S_{15} - S_{10}$ 成等差数列。

$S_5 = 25$，$S_{10} - S_5 = 75$

公差为 $75 - 25 = 50$

$S_{15} - S_{10} = 75 + 50 = 125$

$S_{15} = 100 + 125 = 225$

答案：$S_{15} = 225$

解：

由等差数列性质：$a_1 + a_9 = 2a_5$

$a_1 + a_5 + a_9 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 27$

$a_5 = 9$

答案：$a_5 = 9$

解：

$\frac{a_5}{a_2} = q^3 = \frac{48}{6} = 8$

$q = 2$

$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{2} = 3$

答案：$q = 2$，$a_1 = 3$

解：

当 $n = 1$ 时，$a_1 = S_1 = 1$

当 $n \geq 2$ 时，$a_n = S_n - S_{n-1} = (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) = 2^{n-1}$

验证 $n = 1$：$a_1 = 2^0 = 1$ ✓

答案：$a_n = 2^{n-1}$

解：

这是首项 $a_1 = 1$，公差 $d = 2$，末项 $a_n = 99$ 的等差数列。

项数：$n = \frac{99 - 1}{2} + 1 = 50$

$S_{50} = \frac{50 \times (1 + 99)}{2} = 2500$

答案：2500

解：

这是首项 $a_1 = 1$，公比 $q = 2$ 的等比数列。

$512 = 2^9$，所以共10项。

$S_{10} = \frac{1 \times (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 1023$

答案：1023

解：

裂项相消：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

答案：$\frac{99}{100}$

解：

累加法： $a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

$a_n = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

答案：$a_n = n^2 - n + 1$

解：

这是等比数列，$q = 2$

$a_n = 2 \times 2^{n-1} = 2^n$

答案：$a_n = 2^n$