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最大最小值

闭区间上的最大最小值

最值定理

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值。

求最大最小值的方法

步骤：

求函数在区间内的所有驻点（ $f'(x) = 0$ 的点）
求函数在区间内的所有不可导点
求函数在区间端点的值
比较以上所有点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值

应用例子

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[-1, 3]$ 上的最大最小值。

解：

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
驻点： $x = 0, 2$
$f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$
$f(0) = 2$
$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$
$f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$
最大值为 $2$ ，最小值为 $-2$

例子 2：求函数 $f(x) = |x^2 - 4|$ 在 $[-3, 3]$ 上的最大最小值。

解：

当 $x^2 - 4 \geq 0$ 时， $f(x) = x^2 - 4$
当 $x^2 - 4 < 0$ 时， $f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$
分界点： $x = \pm 2$
在 $[-3, -2]$ 上： $f(x) = x^2 - 4$ ， $f'(x) = 2x$
在 $[-2, 2]$ 上： $f(x) = 4 - x^2$ ， $f'(x) = -2x$
在 $[2, 3]$ 上： $f(x) = x^2 - 4$ ， $f'(x) = 2x$
驻点： $x = 0$ （在 $[-2, 2]$ 上）
$f(-3) = 5$ ， $f(-2) = 0$ ， $f(0) = 4$ ， $f(2) = 0$ ， $f(3) = 5$
最大值为 $5$ ，最小值为 $0$

例子 3：求函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 在 $[1, 3]$ 上的最大最小值。

解：

$f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
令 $f'(x) = 0$ ，得 $x = \pm 1$ ，但在 $[1, 3]$ 内只有 $x = 1$
$f(1) = 2$
$f(3) = \frac{10}{3} \approx 3.33$
最大值为 $\frac{10}{3}$ ，最小值为 $2$

开区间上的最值

方法

求函数在区间内的所有驻点
求函数在区间内的所有不可导点
求函数在区间端点的极限值
比较所有点的函数值和极限值

例子：求函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上的最大最小值。

解：

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$ ，函数单调递减
$f(1) = 1$
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
最大值为 $+\infty$ （无上界），最小值为 $1$

条件极值

拉格朗日乘数法

设函数 $f(x, y)$ 和约束条件 $g(x, y) = 0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续可导，且 $\nabla g(x_0, y_0) \neq 0$ ，如果 $(x_0, y_0)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $g(x, y) = 0$ 下的极值点，则存在常数 $\lambda$ ，使得

$\nabla f(x_0, y_0) = \lambda \nabla g(x_0, y_0)$

例子：求函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 在约束条件 $x + y = 1$ 下的最小值。

解：

设拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x + y - 1)$
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 2y - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + y - 1) = 0$
解得 $x = y = \frac{1}{2}$ ， $\lambda = 1$
最小值为 $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

实际应用问题

1. 最优化问题

例子：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值。

解：

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
驻点： $x = 0, 2$
$f(0) = 2$ ， $f(2) = -2$ ， $f(3) = 2$
最大值为 $2$

2. 经济应用

例子：某产品的成本函数为 $C(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 10$ ，求平均成本最小的产量。

解：

平均成本 $AC(x) = \frac{C(x)}{x} = x^2 - 3x + 2 + \frac{10}{x}$
$AC'(x) = 2x - 3 - \frac{10}{x^2}$
令 $AC'(x) = 0$ ，得 $2x^3 - 3x^2 - 10 = 0$
通过数值方法求解，得到 $x \approx 2.5$

常见错误和注意事项

1. 最值计算错误

错误：只考虑驻点，忽略端点和不可导点正确：必须考虑所有可能的极值点

2. 开区间最值错误

错误：忽略端点的极限值正确：需要计算端点的极限值

3. 条件极值错误

错误：直接求导而不考虑约束条件正确：使用拉格朗日乘数法

4. 函数定义域错误

错误：忽略函数的定义域限制正确：确保所有计算都在函数的定义域内

Exercises

练习 1

求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $[0, 3]$ 上的最大最小值。

Reference Answer(3 个标签)

derivative applicationsextrematangent lines

解题思路：求所有可能的极值点，比较函数值。

详细步骤：

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
驻点： $x = 0, 2$
$f(0) = 2$ ， $f(2) = -2$ ， $f(3) = 2$
最大值为 $2$ ，最小值为 $-2$

答案：最大值为 $2$ ，最小值为 $-2$ 。

练习 2

求函数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 在 $[1, 3]$ 上的最大最小值。

Reference Answer(3 个标签)

derivative applicationsextrematangent lines

解题思路：求导数，找驻点，比较函数值。

详细步骤：

$f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$
令 $f'(x) = 0$ ，得 $x = \pm 1$ ，但在 $[1, 3]$ 内只有 $x = 1$
$f(1) = 2$ ， $f(3) = \frac{10}{3} \approx 3.33$
最大值为 $\frac{10}{3}$ ，最小值为 $2$

答案：最大值为 $\frac{10}{3}$ ，最小值为 $2$ 。

练习 3

求函数 $f(x) = |x^2 - 4|$ 在 $[-3, 3]$ 上的最大最小值。

Reference Answer(3 个标签)

derivative applicationsextrematangent lines

解题思路：分段讨论，求各段的极值点。

详细步骤：

当 $x^2 - 4 \geq 0$ 时， $f(x) = x^2 - 4$
当 $x^2 - 4 < 0$ 时， $f(x) = 4 - x^2$
分界点： $x = \pm 2$
在 $[-3, -2]$ 上： $f(x) = x^2 - 4$ ， $f'(x) = 2x$
在 $[-2, 2]$ 上： $f(x) = 4 - x^2$ ， $f'(x) = -2x$
在 $[2, 3]$ 上： $f(x) = x^2 - 4$ ， $f'(x) = 2x$
驻点： $x = 0$ （在 $[-2, 2]$ 上）
$f(-3) = 5$ ， $f(-2) = 0$ ， $f(0) = 4$ ， $f(2) = 0$ ， $f(3) = 5$
最大值为 $5$ ，最小值为 $0$

答案：最大值为 $5$ ，最小值为 $0$ 。

Summary

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\lambda$	希腊字母	Lambda（拉姆达）	拉格朗日乘数
$\nabla$	数学符号	Nabla（纳布拉）	梯度算子

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
最大值	maximum value	/ˈmæksɪməm ˈvæljuː/	函数在区间上的最大函数值
最小值	minimum value	/ˈmɪnɪməm ˈvæljuː/	函数在区间上的最小函数值
驻点	stationary point	/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/	导数为零的点
拉格朗日乘数法	Lagrange multiplier method	/ləˈɡrændʒ ˈmʌltɪplaɪə ˈmeθəd/	求约束优化问题的方法
梯度	gradient	/ˈɡreɪdiənt/	多元函数的导数向量