弧微分与曲率

应用例子：

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 从 $(0, 0)$ 到 $(1, 1)$ 的弧长。

解：

• $f'(x) = 2x$
• $ds = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx$
• $L = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$

• 令 $2x = \tan \theta$，则 $dx = \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$
• $L = \int_0^{\arctan 2} \sqrt{1 + \tan^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta d\theta$
• $= \frac{1}{2} \int_0^{\arctan 2} \sec^3 \theta d\theta$
• $= \frac{1}{2} [\sec \theta \tan \theta + \ln |\sec \theta + \tan \theta|]_0^{\arctan 2}$
• $= \frac{1}{2} [2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})]$

例子 2：求圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的周长。

解：

• 上半圆：$y = \sqrt{r^2 - x^2}$
• $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$
• $ds = \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}} dx = \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx$
• $L = 2 \int_{-r}^r \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx = 2r \int_{-r}^r \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}} dx$
• $= 2r [\arcsin \frac{x}{r}]_{-r}^r = 2r \cdot \pi = 2\pi r$

几何意义：

• 曲率表示曲线在该点的弯曲程度
• 曲率越大，曲线弯曲越剧烈
• 直线的曲率为零
• 圆的曲率为常数 $\frac{1}{r}$（$r$ 为半径）

应用例子：

例子 1：求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的曲率。 解：

• $f'(x) = 2x$，$f'(1) = 2$
• $f''(x) = 2$，$f''(1) = 2$
• $\kappa = \frac{|2|}{[1 + 2^2]^{3/2}} = \frac{2}{5^{3/2}} = \frac{2}{5\sqrt{5}}$

例子 2：求圆 $x^2 + y^2 = r^2$ 的曲率。 解：

• 上半圆：$y = \sqrt{r^2 - x^2}$
• $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}}$
• $f''(x) = -\frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}}$
• $\kappa = \frac{|-\frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}}|}{[1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}]^{3/2}}$
• $= \frac{r^2}{(r^2 - x^2)^{3/2}} \cdot \frac{(r^2 - x^2)^{3/2}}{r^3} = \frac{1}{r}$

例子 3：求直线 $y = mx + b$ 的曲率。 解：

• $f'(x) = m$，$f''(x) = 0$
• $\kappa = \frac{|0|}{[1 + m^2]^{3/2}} = 0$

应用例子：

例子：求参数方程 $\begin{cases} x = a \cos t \\ y = a \sin t \end{cases}$ 的弧长和曲率。 解：

• $x'(t) = -a \sin t$，$y'(t) = a \cos t$
• $x''(t) = -a \cos t$，$y''(t) = -a \sin t$
• $ds = \sqrt{a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t} dt = a dt$
• $L = \int_0^{2\pi} a dt = 2\pi a$
• $\kappa = \frac{|(-a \sin t)(-a \sin t) - (-a \cos t)(a \cos t)|}{[a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t]^{3/2}}$
• $= \frac{|a^2 \sin^2 t + a^2 \cos^2 t|}{a^3} = \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$

应用例子：

例子：求极坐标方程 $r = a$（圆）的周长。 解：

• $r'(\theta) = 0$
• $ds = \sqrt{a^2 + 0^2} d\theta = a d\theta$
• $L = \int_0^{2\pi} a d\theta = 2\pi a$

1. 曲率半径

• 定义：曲率半径 $R = \frac{1}{\kappa}$
• 几何意义：曲率半径是曲线在该点的最佳圆近似半径。

2. 密切圆

• 定义：在曲线某点处与曲线有相同曲率的圆称为密切圆。
• 性质：
  • 密切圆与曲线在该点有相同的函数值、一阶导数和二阶导数
  • 密切圆的半径等于曲率半径

3. 曲率中心

• 定义：密切圆的圆心称为曲率中心。
• 坐标公式如上所示。