2026年全国硕士研究生入学考试数学一真题

答案：A，即 $z_x-z_y=\dfrac1a$。

分别对 $x,y$ 求导，得

两式相减后指数项消去。

答案：D，$(-1,1)$。

令 $u=x^2$。偶数项的系数根值为 $1$，所以关于 $u$ 的收敛半径为 $1$；$|x|<1$ 时收敛，而 $x=\pm1$ 时偶数项不趋于零。

答案：C。

凹函数的割线斜率随左端点 $x$ 增大而增大；仅知道一组固定右端点的割线斜率单调，不能反推出函数整体凹性。

答案：C。

球面给出 $\rho=2$，锥面给出 $\varphi=\pi/4$；区域对应 $0\le\rho\le2$、$0\le\varphi\le\pi/4$、$0\le\theta\le2\pi$，体积元为 $\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$。

答案：B，$A^{-1}$ 仍为置换矩阵。

置换矩阵的逆矩阵等于其转置，仍然是置换矩阵；伴随矩阵还会受到行列式符号影响，不能无条件判为置换矩阵。

答案：A。

条件等价于 $\operatorname{Col}(A)\subseteq\operatorname{Col}(B)$。若 $Ax=\beta$ 有解，则 $\beta\in\operatorname{Col}(A)$，从而 $\beta\in\operatorname{Col}(B)$，所以 $Bx=\beta$ 有解。

答案：B，$a=-4$，正交标准形为 $-6y_1^2-6y_2^2$。

二次型矩阵的特征值为 $a+4,a-2,a-2$。柱面要求有一个零特征值，取 $a=-4$ 时特征值为 $0,-6,-6$，方程化为 $y_1^2+y_2^2=1/6$。

答案：C，最小值点为 $t=-1$，最小值为 $2$。

$f(t)=\operatorname{Var}(X)+(EX+t)^2=2+(1+t)^2$。

答案：A，$a=\sigma,b=\mu$。

由分布函数关系可知 $X=aY+b$。于是 $\mu=b$、$\sigma^2=a^2$；按题目选项取 $a>0$，得到 $a=\sigma$、$b=\mu$。

答案：D。

尾概率为

条件概率是 $2^{-n}$ 与 $3^{-n}$ 的加权平均，权重偏向较大的 $2^{-n}$，因此大于对应的等权平均 $P(X>n)$。

答案：$1+z$。

解析：先求 $\boldsymbol F=(x,yz,-xy)$，再计算 $\operatorname{div}\boldsymbol F=\dfrac{\partial x}{\partial x}+\dfrac{\partial(yz)}{\partial y}+\dfrac{\partial(-xy)}{\partial z}=1+z$。

答案：$\dfrac12$。

解析：由 $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+O(x^3)$、$\sin x=x+O(x^3)$，得 $\dfrac{\ln(1+x)}{x\sin x}=\dfrac1x-\dfrac12+O(x)$，所以原极限为 $\dfrac12$。

答案：$-\dfrac{\sqrt2}{8}$。

解析：使用参数方程二阶导数公式 $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{x'y''-y'x''}{(x')^3}$，代入 $t=\pi/4$ 即得 $-\dfrac{\sqrt2}{8}$。

答案：$2\ln2$。

解析：分部积分，取 $u=\ln(1+x)$、$dv=x^{-2}dx$，则 $\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}dx=\ln2+\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x(1+x)}=2\ln2$。

答案：$(-\infty,0)$。

解析：分别求出题设矩阵 $A$、$B$ 的实特征值最大值，比较 $m(A)$ 与 $m(B)$ 后可得参数必须满足 $a<0$。

答案：$4$。

解析：由 $X$ 与 $X-Y$ 独立，得 $\operatorname{Cov}(X,X-Y)=0$，所以 $\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Var}(X)=1$。因此 $E(XY)=E(X)E(Y)+\operatorname{Cov}(X,Y)=1\cdot3+1=4$。

由 $f_x=e^x(2x^2+4x-y^2)$、$f_y=-2ye^x$ 得驻点 $(0,0)$、$(-2,0)$。$(0,0)$ 处 Hessian 判别式小于零，不是极值点；$(-2,0)$ 处判别式大于零且 $f_{xx}<0$，故为极大值点，极大值为 $f(-2,0)=8e^{-2}$。

令 $u=xy$，全微分条件给出

因此 $\dfrac{d}{du}\left(\dfrac{f''(u)}u-\dfrac{f(u)}u\right)=0$，即 $f''(u)/u-f(u)/u=C$。代入初值可得 $C=-1$，即 $f''(u)-f(u)=-u$，解得

用直线 $y=x$ 上从 $B$ 到 $A$ 的线段补成闭曲线，对闭区域应用格林公式。椭圆面积为 $\pi/\sqrt3$，闭曲线部分积分为 $\pi/3$，补上线段积分为 $1/4$，故原积分为

严格递增意味着 $\int_{-1}^0f(x)\,dx<\int_0^1f(x)\,dx$，结合总积分为零得 $a>0$。由题设构造的 $F$ 满足 $F(-1)=F(1)=0$，且 $F'(0)=0$；两次应用罗尔定理，即可得到某个 $\xi\in(-1,1)$ 使 $F''(\xi)=0$。

对四个向量作初等行变换可得秩为 $2$，且前两列线性无关，所以它们构成极大无关组。解 $GH=A$ 得

当 $k=1$ 时，首个失效时间 $T$ 服从参数为 $n/\theta$ 的指数分布：

因此 $\widehat\theta=nT$ 是无偏估计，且 $D(\widehat\theta)=\theta^2$。一般 $k$ 个失效时间为 $t_1\le\cdots\le t_k$ 时，最大似然估计为