2021年全国硕士研究生入学考试数学一真题

解题思路：

先判连续，再求导。 详细步骤：

$\lim\limits_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1=f(0)$，故连续；$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1 - x}{x^2}=\tfrac{1}{2}$，导数不为 0。 最终答案：

D

解题思路：

在两条曲线上求偏导并联立解出 $f_x(1,1),f_y(1,1)$。 详细步骤：

在 (1) 中取 $x=0,y=0$ 得 $f_x(1,1)+f_y(1,1)=1$；在 (2) 中取 $x=1$ 得 $f_x(1,1)+2f_y(1,1)=2$。解得 $f_x(1,1)=0,\ f_y(1,1)=1$，故 $df(1,1)=f_x(1,1)dx+f_y(1,1)dy=dy$。 最终答案：

C

解题思路：

分别展开 $\sin x$ 与 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 并相乘，取到 $x^3$ 项。 详细步骤：

$\sin x = x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\dfrac{1}{1+x^2}=1 - x^2 + o(x^2)$，相乘得 $f(x)=x-\dfrac{7}{6}x^3+o(x^3)$。 最终答案：

A

解题思路：

本题考查定积分的黎曼和定义。把 $[0,1]$ 等分成 $n$ 个小区间，检验每个选项中”取样点的个数、区间长度、步长”三者是否匹配。

详细步骤：

1. 定积分的黎曼和定义：把 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间长 $\dfrac1n$，取每个小区间的中点 $\xi_k=\dfrac{2k-1}{2n}$，则 $\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf\!\left(\dfrac{2k-1}{2n}\right)\dfrac1n$（$f$ 在 $[0,1]$ 上连续时成立）。
2. 逐项检查选项：(A) 取 $n$ 个点却用步长 $\dfrac{1}{2n}$，总长度为 $\dfrac12$，不是 $\int_0^1f(x)dx$；(C) 取 $2n$ 个点却用步长 $\dfrac1n$，总长度为 $2$，同样不对。
3. 选项 (D) 的取样点 $\dfrac{k}{2n}$ 是右端点而非中点（首项为 $0$，含端点），且步长为 $\dfrac2n$，总长度为 $2$，也不是所求积分。
4. 只有选项 (B) 的取样点为中点、个数为 $n$、步长为 $\dfrac1n$，三者与 $\int_0^1f(x)dx$ 的黎曼和完全对应，故选 (B)。

最终答案：

B

解题思路：

本题考查二次型的惯性指数。先把二次型展开写成矩阵形式，再求特征值，由特征值的符号确定正、负惯性指数。

详细步骤：

1. 展开二次型：$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)^2+(x_2+x_3)^2-(x_3-x_1)^2=2x_2^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3$，故二次型矩阵为 $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$。
2. 计算特征多项式：$|\lambda E-A|=\lambda(\lambda-3)(\lambda+1)$，故特征值为 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=0,\ \lambda_3=-1$。
3. 由 $\operatorname{tr}A=2$、$|A|=0$ 与 $\operatorname{tr}A^2=10$ 验证上述特征值无误。
4. 正特征值只有 $3$ 一个，负特征值只有 $-1$ 一个，故正惯性指数为 1、负惯性指数为 1，选 (B)。

最终答案：

B

解题思路：

用正交化公式分别消去在前两向量方向上的分量。 详细步骤：

$k=\dfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}=2$，得 $\beta_2=(0,2,0)^T$；再算 $l_1=\dfrac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}=\dfrac{5}{2}$，$l_2=\dfrac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}=\dfrac{1}{2}$，满足两两正交。 最终答案：

A

解题思路：

本题考查分块矩阵的秩。分块矩阵 $\begin{pmatrix}A&0\\ C&A^T\end{pmatrix}$ 的秩等于 $A$ 与 $C$ 的行（列）空间叠加后与 $A^T$ 的行空间叠加的维数，需要逐个选项考察。

详细步骤：

1. 对选项 (A)：块矩阵为 $\begin{pmatrix}A&0\\0&A^TA\end{pmatrix}$，上下两个分块互相独立，秩为 $r(A)+r(A^TA)=2r(A)$，成立。
2. 对选项 (B)：$\begin{pmatrix}A&0\\AB&A^T\end{pmatrix}$，因 $AB$ 的行向量是 $A$ 的行向量的线性组合，不增加新的行空间维数，故秩为 $r(A)+r(A^T)=2r(A)$，成立。
3. 对选项 (C)：$\begin{pmatrix}A&0\\BA&A^T\end{pmatrix}$，下块的 $BA$ 的行向量一般不能由 $A$ 的行向量线性表出（它是 $B$ 的行与 $A$ 的列的组合），可能带来额外的行空间维数，使秩大于 $2r(A)$，故该等式不恒成立。
4. 对选项 (D)：$\begin{pmatrix}A&B\\0&A^T\end{pmatrix}$，同理 $B$ 的行可能带来额外的行空间维数，该等式也不恒成立。故不成立的是选项 (C)。

最终答案：

C

解题思路：

用全概率展开验证单调关系，寻找反例。 详细步骤：

由全概率 $P(A|A\cup B)=\dfrac{P(A)}{P(A)+P(B)-P(AB)}$，可知即便 $P(A|A\cup B)\geq P(\bar A|A\cup B)$，也不必有 $P(A)>P(B)$，故 D 不成立。 最终答案：

D

解题思路：

利用线性无偏性和协方差计算方差。 详细步骤：

$E(\hat\theta)=E(\bar X)-E(\bar Y)=\mu_1-\mu_2=\theta$ 无偏；$D(\hat\theta)=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$。 最终答案：

C

解题思路：

标准化 $\bar X$，利用正态分布求犯第二类错误概率。 详细步骤：

$\bar X\sim N\!\left(\mu,\tfrac{1}{4}\right)$，当 $\mu=11.5$ 时，$P(\bar X<11)=P\!\left(Z<\dfrac{11-11.5}{1/2}\right)=P(Z<-1)=1-\Phi(1)$。 最终答案：

B

最终答案：

$\dfrac{\pi}{4}$。 解题思路：

配方 $x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，再用反正切积分。 详细步骤：

$\int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+1)^2+1}=\left.\arctan(x+1)\right|_0^{+\infty}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$。

最终答案：

$\dfrac{2}{3}$。 解题思路：

先求 $\dfrac{dy}{dx}$，再对 $t$ 求导并除以 $\dfrac{dx}{dt}$。 详细步骤：

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4e^t+2t}{2e^t+1}$，$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{(4e^t+4e^t+2)(2e^t+1)-(4e^t+2t)2e^t}{(2e^t+1)^3}$，当 $t=0$（对应 $x=0$）时得 $\dfrac{2}{3}$。

最终答案：

$y=x^2$。 解题思路：

设 $y=x^\lambda$，得特征方程 $\lambda^2-4=0$，通解 $y=C_1 x^2+C_2 x^{-2}$。代入初值求常数得 $C_1=1,C_2=0$。 详细步骤：

$y(1)=C_1+C_2=1,\ y'(x)=2C_1 x-2C_2 x^{-3}$，$y'(1)=2C_1-2C_2=2$，解得 $C_1=1,C_2=0$，故 $y=x^2$。

解题思路：

本题考查曲面积分与散度定理。原积分是第二型曲面积分，曲面 $\Sigma$ 是闭合区域 $\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2\le4,\ 0\le z\le2\}$ 的整个外表面，可以直接用散度定理化为三重积分。

详细步骤：

1. 把积分写成向量场的通量形式：$F=(x^2,\ y^2,\ z)$，$\Sigma$ 为所给区域的整个外表面（侧面与上、下两个底面）。
2. 由散度定理，$\displaystyle\iint_{\Sigma}x^2\,dy\,dz+y^2\,dz\,dx+z\,dx\,dy=\iiint_{\Omega}\operatorname{div}F\,dV$，其中 $\operatorname{div}F=2x+2y+1$。
3. 区域 $\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2\le4,\ 0\le z\le2\}$ 关于 $x$ 轴与 $y$ 轴都对称，故 $\iiint_\Omega2x\,dV=0$，$\iiint_\Omega2y\,dV=0$。
4. 于是积分等于 $\iiint_\Omega1\,dV$，即体积。截面是半轴为 $2$ 与 $1$ 的椭圆，面积为 $\pi\cdot2\cdot1=2\pi$，高为 $2$，故体积为 $2\pi\cdot2=4\pi$。

最终答案：

$4\pi$。

最终答案：

$\dfrac{3}{2}$。 解题思路：

向量 $(1,1,1)^T$ 是特征向量，对应特征值为 2，由行列式与代数余子式关系求和。 详细步骤：

设 $A\alpha=\lambda\alpha,\ \alpha=(1,1,1)^T$，$\lambda=2$，应用 $A^*=\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha\alpha^T$ 得 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=\dfrac{|A|}{\lambda}= \dfrac{3}{2}$。

最终答案：

$\dfrac{1}{5}$。 解题思路：

列出 $(X,Y)$ 联合分布，计算协方差与方差。 详细步骤：

联合分布 $(X,Y)\sim \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ 概率分别 $3/10,1/5,1/5,3/10$，$DX=DY=1/4$，$\mathrm{cov}(X,Y)=1/20$，故相关系数 $\rho_{XY}=\dfrac{1/20}{\sqrt{1/4\cdot1/4}}=\dfrac{1}{5}$。

解题思路：

对积分做小量展开，将分子统一到 $x^2$ 阶。 详细步骤：

对 $\int_0^x \frac{t^2 e^t}{e^x-1}dt$ 展开得 $\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，同时 $\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，整理后分子为 $\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$，故极限为 $\dfrac{1}{2}$。 最终答案：

$\dfrac{1}{2}$

解题思路：

$e^{-x}$ 不影响收敛性，先研究幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，再用 $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ 求和。 详细步骤：

比值判别得半径 $R=1$；$x=1$ 时 $\sum\dfrac{1}{n(n+1)}$ 收敛，$x=-1$ 时绝对收敛，因此收敛域为 $[-1,1]$。当 $|x|<1$ 时，

端点代入原级数得

最终答案：

解题思路：

本题考查空间曲线上点到坐标面的最大距离。先用平面方程消去 $z$，把曲线投影到 $xOy$ 面上得到一条椭圆，再用拉格朗日乘数法求 $|z|$ 的极值。

详细步骤：

1. 由第二个方程得 $z=30-4x-2y$，故到 $xOy$ 平面的距离为 $|z|=|30-4x-2y|$。
2. 把 $z=30-4x-2y$ 代入第一个方程 $x^2+2y^2-z=6$，得 $x^2+4x+2y^2+2y-36=0$，即 $(x+2)^2+2\left(y+\tfrac12\right)^2=\tfrac{81}{2}$，说明曲线在 $xOy$ 面上的投影是一条椭圆。
3. 用拉格朗日乘数法对 $|z|$ 求极值，解得极值点为 $(4,1,12)$ 与 $(-8,-2,66)$，代回 $z=30-4x-2y$ 分别得 $z=12$ 与 $z=66$。
4. 比较两端点处的 $|z|$ 值，得曲线上的点到 $xOy$ 平面的最大距离为 $66$。

最终答案：

$66$

解题思路：

积分核对圆对称，最大值对应圆盘 $x^2+y^2\le 4$；曲线积分用格林公式。 详细步骤：

1）$I(D)$ 最大当 $x^2+y^2\le4$，此时 $I(D_1)=\int_0^{2\pi}\int_0^{2}(4-r^2)r\,dr\,d\theta=8\pi$。
2）沿 $\partial D_1$，用格林公式化为区域积分，结果 $-\pi$。
最终答案：

$I(D_1)=8\pi$，曲线积分 $-\pi$

解题思路：

求 $A$ 的特征值 $\lambda_1=a+2,\ \lambda_2=\lambda_3=a-1$ 及对应正交特征向量，构造 $P$；再利用 $C=P\Lambda^{1/2}P^T$。 详细步骤：

可取

则 $P^T A P=\operatorname{diag}(a+2,a-1,a-1)$。 进一步

最终答案：

$P$、$C$ 如上。

解题思路：

切割点均匀分布，先得 $X\sim U(0,1)$；再由 $Z=\dfrac{2-X}{X}$ 求分布函数并求导；最后按定义求期望。 详细步骤：

1）$f_X(x)=1,\ 0<x<1$，否则 0。
2）$F_Z(z)=P\!\left(\dfrac{2-X}{X}\le z\right)=P\!\left(X\ge\dfrac{2}{z+1}\right)$，得 $f_Z(z)=\dfrac{2}{(z+1)^2},\ z\ge1$，否则 0。
3）$E\!\left(\dfrac{X}{Y}\right)=\int_0^1 \dfrac{x}{2-x}\,dx=-1+2\ln2$。
最终答案：

$f_X(x)=1\ (0<x<1)$；$f_Z(z)=\dfrac{2}{(z+1)^2}\ (z\ge1)$；$E\!\left(\dfrac{X}{Y}\right)=-1+2\ln2$。