2021年全国硕士研究生入学考试数学一真题

解题思路：先判连续，再求导。
详细步骤：$\lim\limits_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}=1=f(0)$，故连续；$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1 - x}{x^2}=\tfrac{1}{2}$，导数不为 0。
答案：D

解题思路：在两条曲线上求偏导并联立解出 $f_x(1,1),f_y(1,1)$。
详细步骤：在 (1) 中取 $x=0,y=0$ 得 $f_x(1,1)+f_y(1,1)=1$；在 (2) 中取 $x=1$ 得 $f_x(1,1)+2f_y(1,1)=2$。解得 $f_x(1,1)=0,\ f_y(1,1)=1$，故 $df(1,1)=f_x(1,1)dx+f_y(1,1)dy=dy$。
答案：C

解题思路：分别展开 $\sin x$ 与 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 并相乘，取到 $x^3$ 项。
详细步骤：$\sin x = x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$，$\dfrac{1}{1+x^2}=1 - x^2 + o(x^2)$，相乘得 $f(x)=x-\dfrac{7}{6}x^3+o(x^3)$。
答案：A

解题思路：利用黎曼和定义，等分区间取各小区间中点。
详细步骤：等分 $[0,1]$ 为 $n$ 段，长度 $1/n$，中点为 $(2k-1)/(2n)$，故积分极限为选项 B。
答案：B

解题思路：写出对应矩阵并求特征值符号。
详细步骤：矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}$，特征值为 $-1,3,0$，正惯性指数 1，负惯性指数 1。
答案：B

解题思路：用正交化公式分别消去在前两向量方向上的分量。
详细步骤：$k=\dfrac{[\alpha_2,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}=2$，得 $\beta_2=(0,2,0)^T$；再算 $l_1=\dfrac{[\alpha_3,\beta_1]}{[\beta_1,\beta_1]}=\dfrac{5}{2}$，$l_2=\dfrac{[\alpha_3,\beta_2]}{[\beta_2,\beta_2]}=\dfrac{1}{2}$，满足两两正交。
答案：A

解题思路：利用分块矩阵秩与列（行）空间关系。
详细步骤：选项 C 中下块 $BA$ 不一定由 $A$ 的列表示，秩可能增加或减少，故不恒成立。
答案：C

解题思路：用全概率展开验证单调关系，寻找反例。
详细步骤：由全概率 $P(A|A\cup B)=\dfrac{P(A)}{P(A)+P(B)-P(AB)}$，可知即便 $P(A|A\cup B)\geq P(\bar A|A\cup B)$，也不必有 $P(A)>P(B)$，故 D 不成立。
答案：D

解题思路：利用线性无偏性和协方差计算方差。
详细步骤：$E(\hat\theta)=E(\bar X)-E(\bar Y)=\mu_1-\mu_2=\theta$ 无偏；$D(\hat\theta)=\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}$。
答案：C

解题思路：标准化 $\bar X$，利用正态分布求犯第二类错误概率。
详细步骤：$\bar X\sim N\!\left(\mu,\tfrac{1}{4}\right)$，当 $\mu=11.5$ 时，$P(\bar X<11)=P\!\left(Z<\dfrac{11-11.5}{1/2}\right)=P(Z<-1)=1-\Phi(1)$。
答案：B

答案：$\dfrac{\pi}{4}$。
解题思路：配方 $x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，再用反正切积分。
详细步骤：$\int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+1)^2+1}=\left.\arctan(x+1)\right|_0^{+\infty}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$。

答案：$\dfrac{2}{3}$。
解题思路：先求 $\dfrac{dy}{dx}$，再对 $t$ 求导并除以 $\dfrac{dx}{dt}$。
详细步骤：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4e^t+2t}{2e^t+1}$，$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{(4e^t+4e^t+2)(2e^t+1)-(4e^t+2t)2e^t}{(2e^t+1)^3}$，当 $t=0$（对应 $x=0$）时得 $\dfrac{2}{3}$。

答案：$y=x^2$。
解题思路：设 $y=x^\lambda$，得特征方程 $\lambda^2-4=0$，通解 $y=C_1 x^2+C_2 x^{-2}$。代入初值求常数得 $C_1=1,C_2=0$。
详细步骤：$y(1)=C_1+C_2=1,\ y'(x)=2C_1 x-2C_2 x^{-3}$，$y'(1)=2C_1-2C_2=2$，解得 $C_1=1,C_2=0$，故 $y=x^2$。

答案：$4\pi$。
解题思路：用散度定理，将曲面积分转为体积分。
详细步骤：对应向量场 $F=(z,x^2,y^2)$，体积分结果为 $4\pi$（按题解计算）。

答案：$\dfrac{3}{2}$。
解题思路：向量 $(1,1,1)^T$ 是特征向量，对应特征值为 2，由行列式与代数余子式关系求和。
详细步骤：设 $A\alpha=\lambda\alpha,\ \alpha=(1,1,1)^T$，$\lambda=2$，应用 $A^*=\dfrac{|A|}{\lambda}\alpha\alpha^T$ 得 $A_{11}+A_{21}+A_{31}=\dfrac{|A|}{\lambda}= \dfrac{3}{2}$。

答案：$\dfrac{1}{5}$。
解题思路：列出 $(X,Y)$ 联合分布，计算协方差与方差。
详细步骤：联合分布 $(X,Y)\sim \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ 概率分别 $3/10,1/5,1/5,3/10$，$DX=DY=1/4$，$\mathrm{cov}(X,Y)=1/20$，故相关系数 $\rho_{XY}=\dfrac{1/20}{\sqrt{1/4\cdot1/4}}=\dfrac{1}{5}$。

解题思路：对积分做小量展开，将分子统一到 $x^2$ 阶。
详细步骤：对 $\int_0^x \frac{t^2 e^t}{e^x-1}dt$ 展开得 $\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，同时 $\sin x = x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，整理后分子为 $\frac{1}{2}x^2+o(x^2)$，故极限为 $\dfrac{1}{2}$。
答案：$\dfrac{1}{2}$

解题思路：比值判别得收敛域 $(0,1]$，分两部分求和：先对 $\sum e^{-x}x^{n+1}/[n(n+1)]$ 拆项积分或用已知级数。
详细步骤：收敛域 $x\in(0,1]$。和函数

答案：如上。

解题思路：设目标函数为 $|z|$，配合约束用拉格朗日乘数求极值点。
详细步骤：解得极值点 $(4,1,12)$ 与 $(-8,-2,66)$，到 $xoy$ 平面的距离为 $|z|$，最大值 $66$。
答案：$66$

解题思路：积分核对圆对称，最大值对应圆盘 $x^2+y^2\le 4$；曲线积分用格林公式。
详细步骤：
1）$I(D)$ 最大当 $x^2+y^2\le4$，此时 $I(D_1)=\int_0^{2\pi}\int_0^{2}(4-r^2)r\,dr\,d\theta=8\pi$。
2）沿 $\partial D_1$，用格林公式化为区域积分，结果 $-\pi$。
答案：$I(D_1)=8\pi$，曲线积分 $-\pi$

解题思路：求 $A$ 的特征值 $\lambda_1=a+2,\ \lambda_2=\lambda_3=a-1$ 及对应正交特征向量，构造 $P$；再利用 $C=P\Lambda^{1/2}P^T$。
详细步骤：可取

则 $P^T A P=\operatorname{diag}(a+2,a-1,a-1)$。 进一步

答案：$P$、$C$ 如上。

解题思路：切割点均匀分布，先得 $X\sim U(0,1)$；再由 $Z=\dfrac{2-X}{X}$ 求分布函数并求导；最后按定义求期望。
详细步骤：
1）$f_X(x)=1,\ 0<x<1$，否则 0。
2）$F_Z(z)=P\!\left(\dfrac{2-X}{X}\le z\right)=P\!\left(X\ge\dfrac{2}{z+1}\right)$，得 $f_Z(z)=\dfrac{2}{(z+1)^2},\ z\ge1$，否则 0。
3）$E\!\left(\dfrac{X}{Y}\right)=\int_0^1 \dfrac{x}{2-x}\,dx=-1+2\ln2$。
答案：密度与期望如上。