2016年全国硕士研究生入学考试数学一真题

解题思路：

本题考查含参反常积分的敛散性判定。积分区间两端都是反常点，需分别在 $x\to0^+$ 与 $x\to+\infty$ 处考察被积函数与相应幂函数的同阶关系。

详细步骤：

1. 在 $x\to0^+$ 处，$(1+x)^b\to1$，被积函数与 $x^{-a}$ 同阶，故 $\int_0^1 x^{-a}dx$ 收敛要求 $a<1$。
2. 在 $x\to+\infty$ 处，$x^a(1+x)^b\sim x^{a+b}$，被积函数与 $x^{-(a+b)}$ 同阶，故 $\int_1^{+\infty}x^{-(a+b)}dx$ 收敛要求 $a+b>1$。
3. 两个端点同时收敛原反常积分才收敛，故充要条件为 $a<1$ 且 $a+b>1$，故选 (C)。

最终答案：

C。

解题思路：

本题考查分段函数原函数的求法与分段衔接条件。候选函数必须处处可导，因此不仅各段的导数要对，还要在分段点处连续且左右导数存在。

详细步骤：

1. 由 $f(x)=\begin{cases}x,&x\le0\\x^2,&x>0\end{cases}$ 知，原函数在 $x\le0$ 段的导数应为 $x$、在 $x>0$ 段的导数应为 $x^2$，先按此排除导数不符的选项。
2. 原函数还必须在 $x=0$ 处连续：选项 (A) 左右极限均为 $0$；选项 (B) 左极限为 $0$ 而右极限为 $1$；选项 (C)、(D) 左极限为 $-1$ 而右极限为 $0$，均不连续。
3. 最后验证可导性：选项 (A) 在 $x=0$ 处的左导数与右导数均为 $0$，恰等于 $f(0)=0$，故只有 (A) 是 $f$ 的原函数。

最终答案：

A。

解题思路：

本题考查一阶线性微分方程解的结构性质。已知两个解，它们的差必为对应齐次方程的解，由此可先定出 $p(x)$；再把一个特解代回方程定出 $q(x)$。

详细步骤：

1. 两解之差 $2\sqrt{1+x^2}$ 是齐次方程 $y'+p(x)y=0$ 的非零解，由 $\sqrt{1+x^2}=e^{-\int p(x)dx}$ 得 $\int p(x)dx=-\tfrac12\ln(1+x^2)$，即 $p(x)=-\dfrac{x}{1+x^2}$。
2. 把 $y=(1+x^2)^2+\sqrt{1+x^2}$ 及其导数 $y'=4x(1+x^2)+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 代入方程 $y'+p(x)y=q(x)$。
3. 逐项合并得 $q(x)=4x(1+x^2)+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}-x(1+x^2)-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=3x(1+x^2)$，故选 (A)。

最终答案：

A。

解题思路：

本题考查二元函数极值点的判定。关键是用题给的极限条件把 $f(x,y)$ 展开到主项，再沿不同路径考察 $f$ 在原点附近的取值符号，从而判断原点是否为极值点。

详细步骤：

1. 由 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1$ 得展开式 $f(x,y)=xy+(x^2+y^2)^2+o((x^2+y^2)^2)$。
2. 沿路径 $y=x$ 代入：$f(x,x)=x^2+4x^4+o(x^4)>0$（$x$ 充分小且 $x\neq0$）；沿路径 $y=-x$ 代入：$f(x,-x)=-x^2+4x^4+o(x^4)<0$。
3. 两条路径上函数值异号，说明原点附近既取正值又取负值，故 $(0,0)$ 不是极值点，选 (A)。

最终答案：

A。

解题思路：

本题考查相似矩阵的性质。相似变换保持转置、逆以及由它们构成的多项式组合，逐一判断四个选项中被保持与不被保持的结论，找出错误的一项。

详细步骤：

1. 设 $B=P^{-1}AP$（$P$ 可逆），则 $B^T=P^TAP^{-T}$，即 $A^T$ 与 $B^T$ 相似，选项 (A) 正确。
2. 同理 $B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P$，故 $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似，选项 (B) 正确。
3. 对选项 (D)：$B+B^{-1}=P^{-1}AP+P^{-1}A^{-1}P=P^{-1}(A+A^{-1})P$，故 $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似，选项 (D) 正确。
4. 对选项 (C)：$B+B^T=P^{-1}AP+P^TAP^{-T}$，一般不能写成 $P^{-1}(A+A^T)P$，故 $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 不必相似，选项 (C) 错误。

最终答案：

C。

解题思路：

本题考查用二次型的标准形判别二次曲面的类型。关键是由二次型矩阵的特征值判断标准形中正负号的个数，从而确定是椭球面、双曲面、抛物面还是柱面。

详细步骤：

1. 写出二次型 $f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$ 的矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}$。
2. 求得 $A$ 的特征值为 $5,-1,-1$，经正交变换后二次型化为标准形 $5y_1^2-y_2^2-y_3^2$。
3. 令 $f=2$ 得 $5y_1^2-y_2^2-y_3^2=2$，标准形中正负号兼有且无零系数，故表示双曲面，选 (B)。

最终答案：

B。

解题思路：

本题考查正态分布的对称性与标准化。把两个事件分别用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示，再利用 $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$ 化为同一形式比较。

详细步骤：

1. 标准化左边：$P\{X\le\mu-1\}=\Phi\left(-\dfrac{1}{\sigma}\right)$。
2. 标准化右边：$P\{Y\ge\mu+1\}=1-\Phi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)$。
3. 由正态分布的对称性 $\Phi(-t)=1-\Phi(t)$，等式化为 $\Phi\left(\dfrac{1}{\sigma}\right)=\Phi\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}\sigma}\right)$，结合题设条件解得 $\mu=3$，故选 (C)。

最终答案：

C。

解题思路：

本题考查样本均值类统计量的期望计算。$T$ 是 $X_i^2$ 的算术平均，只需用二阶原点矩公式 $E(X^2)=D(X)+E(X)^2$ 逐项计算后取平均。

详细步骤：

1. 由方差的定义，$E(X_i^2)=D(X_i)+E(X_i)^2=\sigma^2+\mu^2$。
2. 由期望的线性性质，$E(T)=\tfrac1n\sum_{i=1}^nE(X_i^2)=\tfrac1n\cdot n(\sigma^2+\mu^2)=\mu^2+\sigma^2$。
3. 与四个选项对照，只有 (A) 与该结论相符，故选 (A)。

最终答案：

A。

解题思路：

本题考查等价无穷小替换与积分的渐近估计。分子是变上限积分，需先找出积分的主项，再与分母的等价式作商。

详细步骤：

1. 当 $x\to0$ 时 $t\sin t\sim t^2$，故 $\ln(1+t\sin t)\sim t\sin t\sim t^2$，被积函数 $t\ln(1+t\sin t)\sim t^3$。
2. 于是 $\int_0^x t\ln(1+t\sin t)\,dt\sim\int_0^x t^3\,dt=\tfrac{x^4}{4}$。
3. 又 $1-\cos x^2\sim\tfrac{x^4}{2}$，故原极限为 $\dfrac{x^4/4}{x^4/2}=\tfrac12$。

最终答案：

$\dfrac{1}{2}$。

解题思路：

本题考查向量场散度的计算。散度就是各分量对各自变量的偏导之和，按定义逐项求导再相加即可。

详细步骤：

1. 写出向量场 $A=(x+y+z,\ xy,\ z)$，三个分量分别为 $P=x+y+z$、$Q=xy$、$R=z$。
2. 逐项求偏导：$\dfrac{\partial P}{\partial x}=1$，$\dfrac{\partial Q}{\partial y}=x$，$\dfrac{\partial R}{\partial z}=1$。
3. 求和得 $\operatorname{div}A=1+x+1=2+x$。

最终答案：

$2+x$。

解题思路：

本题考查幂级数的收敛域与和函数的求法。先用比值判别法定收敛域，再借助 $e^x$ 的泰勒级数逐项求导、乘 $x$ 凑出系数 $n^2$。

详细步骤：

1. 用比值判别法：$\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{(n+1)x}{n^2}\to0<1$ 对任意 $x$ 都成立，故级数对一切 $x$ 绝对收敛，收敛半径 $R=\infty$，收敛域为 $(-\infty,+\infty)$。
2. 由 $e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}$ 两边乘 $x$ 再求导，得 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n x^n}{n!}=xe^x$。
3. 再对 $xe^x$ 求导得 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n^2 x^{n-1}}{n!}=(1+x)e^x$，两边乘 $x$ 得和函数 $x(1+x)e^x$。

最终答案：

收敛域 $(-\infty,+\infty)$，和函数 $x(1+x)e^x$。

解题思路：

本题考查用泰勒展开求高阶导数。$f'''(0)$ 只由 $f(x)$ 在 $0$ 处的三次项系数决定，故只需把两个部分都展开到 $x^3$ 项。

详细步骤：

1. 展开 $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$。
2. 展开 $\dfrac{x}{1+ax^2}=x\left(1-ax^2+o(x^2)\right)=x-ax^3+o(x^3)$。
3. 相减得 $f(x)=\left(a-\tfrac13\right)x^3+o(x^3)=\tfrac{2a-1}{3}x^3+o(x^3)$，故 $f'''(0)=3!\cdot\tfrac{2a-1}{3}=2(2a-1)=1$，解得 $a=\tfrac12$。

最终答案：

$\dfrac{1}{2}$。

解题思路：

本题考查用伴随矩阵法求逆矩阵。先算行列式判断可逆性，再按代数余子式构造伴随矩阵，最后用 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*$ 得出结果。

详细步骤：

1. 计算行列式 $|A|=-4\ne0$，故 $A$ 可逆，逆矩阵存在。
2. 按伴随矩阵法，逐一计算 $A$ 中各元素的代数余子式并按转置规则排成伴随矩阵 $A^*$。
3. 由 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*=-\tfrac14 A^*$，把伴随矩阵各元素乘以 $-\tfrac14$ 即得 $A^{-1}$。

最终答案：

$\begin{pmatrix}\tfrac12&-\tfrac14&-\tfrac14\\[4pt]-\tfrac14&\tfrac12&-\tfrac14\\[4pt]-\tfrac14&-\tfrac14&\tfrac12\end{pmatrix}$。

解题思路：

本题考查由连续型分布导出的二项分布。先算出单次试验「成功」的概率 $p$，再按二项分布的概率公式求指定项。

详细步骤：

1. 由密度 $f(x)=2x$（$0<x<1$）得 $p=P\left\{X\le\tfrac12\right\}=\int_0^{1/2}2x\,dx=\left.x^2\right|_0^{1/2}=\tfrac14$。
2. $Y$ 表示 3 次独立重复观察中事件 $\{X\le\tfrac12\}$ 的出现次数，故 $Y\sim B(3,p)$，其中 $p=\tfrac14$。
3. 由二项分布概率公式 $P\{Y=2\}=C_3^2p^2(1-p)=3\times\tfrac{1}{16}\times\tfrac34=\dfrac{9}{64}$。

最终答案：

$\dfrac{9}{64}$。

解题思路：

本题考查条件概率与概率加法公式。先由乘法公式求出 $P(AB)$，再反求 $P(B)$，最后用加法公式求并集概率。

详细步骤：

1. 由乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B|A)=0.3\times0.4=0.12$。
2. 由 $P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=0.5$ 得 $P(B)=\dfrac{0.12}{0.5}=0.24$。
3. 用加法公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.24-0.12=0.42$。

最终答案：

0.42。

解题思路：

本题考查均匀分布的期望与方差，以及样本均值的数字特征。先由 $X\sim U[0,\theta]$ 写出总体期望与方差，再用样本均值的期望与方差公式得到估计量的数字特征。

详细步骤：

1. 对 $X\sim U[0,\theta]$，有 $E(X)=\tfrac{\theta}{2}$，$D(X)=\tfrac{\theta^2}{12}$。
2. 样本均值满足 $E(\overline X)=E(X)=\tfrac{\theta}{2}$，$D(\overline X)=\tfrac{D(X)}{n}=\tfrac{\theta^2}{12n}$。
3. 故 $E(\hat\theta)=E(2\overline X)=\theta$，$D(\hat\theta)=4D(\overline X)=\dfrac{\theta^2}{3n}$，即 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的无偏估计。

最终答案：

$\theta$，$\dfrac{\theta^2}{3n}$。

解题思路：

本题考查全微分与路径无关积分。先由 $\partial f/\partial x$ 积分求出 $f$ 并用初值定出待定函数，再验证该场是保守场、路径积分与路径无关，最后取折线路径计算并求极值。

详细步骤：

1. 对 $x$ 积分 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 得 $f(x,y)=xe^{2xy}+C(y)$，代入初值 $f(0,y)=y+1$ 得 $C(y)=y+1$，故 $f(x,y)=xe^{2xy}+y+1$。
2. 由于 $\partial f/\partial x\,dy=\partial f/\partial y\,dx$，该向量场是梯度场，路径积分与路径无关，取从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ 再到 $(1,t)$ 的折线路径计算。
3. 沿两段折线累加得 $I(t)=\dfrac12e^{2t}+t$；再对 $t$ 求极值，得 $I(t)$ 的最小值为 $\dfrac12(1-\ln 2)$。

最终答案：

$I(t)=\tfrac{1}{2}e^{2t}+t$，最小值 $\tfrac{1}{2}(1-\ln 2)$。

解题思路：

本题考查散度定理的应用。第二型曲面积分可用散度定理化为三重积分，被积函数是散度，与曲面的具体形状无关，只需知道区域的体积。

详细步骤：

1. 识别积分类型：$I=\iint_{\varSigma}(2x+1)\,dy\,dz+2y\,dz\,dx+3z\,dx\,dy$ 是第二型曲面积分且 $\varSigma$ 取外侧，可用散度定理化为 $\iiint_{\varOmega}\operatorname{div}A\,dV$。
2. 计算散度：$\operatorname{div}A=\dfrac{\partial(2x+1)}{\partial x}+\dfrac{\partial(2y)}{\partial y}+\dfrac{\partial(3z)}{\partial z}=2+2+3=7$。
3. 求体积：$\varOmega$ 由平面 $2x+y+2z=2$ 与三坐标面围成，是截距长分别为 $1,2,1$ 的四面体，$V=\tfrac16\cdot1\cdot2\cdot1=\tfrac13$；故 $I=7V=\tfrac73$。

最终答案：

$\dfrac{7}{3}$。

解题思路：

本题考查递推数列的敛散性。第一问把相邻项之差与上一步差的一半联系起来，用几何级数比较判别法判定绝对收敛；第二问在收敛的基础上取极限，并用 $f'$ 的界排除零值与过大值。

详细步骤：

1. 由拉格朗日中值定理，$|x_{n+1}-x_n|=|f(x_n)-f(x_{n-1})|\le\tfrac12|x_n-x_{n-1}|$，故 $|x_{n+1}-x_n|\le\left(\tfrac12\right)^{n-1}|x_2-x_1|$。
2. 与几何级数 $\sum\left(\tfrac12\right)^{n-1}$ 比较，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^\infty|x_{n+1}-x_n|$ 绝对收敛（第一问得证）。
3. 由收敛性知数列 $x_n$ 收敛，设其极限为 $a$，取极限得 $a=f(a)$；又 $f(0)=1$ 且 $f$ 连续，$a=0$ 不满足 $a=f(a)$，故 $a>0$。
4. 由 $f(a)-f(0)=a-1$ 及拉格朗日中值定理，$a-1=f'(\xi)\cdot a$（$0<\xi<a$），而 $f'(\xi)<\tfrac12$，故 $a-1<\tfrac a2$，即 $a<2$，从而 $0<a<2$。

最终答案：

（I）$\sum_{n=1}^\infty|x_{n+1}-x_n|$ 绝对收敛；（II）$\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在且 $0<\lim_{n\to\infty}x_n<2$。

解题思路：

本题考查含参数线性方程组解的讨论。先用系数行列式把参数分成互不相交的情形，再用系数矩阵与增广矩阵的秩比较判断是唯一解、无解还是无穷多解。

详细步骤：

1. 计算系数行列式 $|A|=(a-1)(-a-2)$，据此把参数分为 $a=1$、$a=-2$ 与 $a\neq1,-2$ 三种情形。
2. 当 $a\neq1,-2$ 时 $A$ 可逆，$r(A)=r(\bar A)=3$，方程组有唯一解。
3. 当 $a=-2$ 时 $r(A)=2$ 而 $r(\bar A)=3$，两者不等，方程组无解；当 $a=1$ 时 $r(A)=r(\bar A)=2<3$，方程组有无穷多解。
4. 综上：$a\neq1,-2$ 唯一解；$a=-2$ 无解；$a=1$ 无穷多解。

最终答案：

$a\neq1,-2$ 唯一解；$a=-2$ 无解；$a=1$ 无穷多解。

解题思路：

本题考查矩阵的对角化与幂的计算，以及由矩阵等式导出列向量之间的线性关系。第一问用对角化把 $A^{99}$ 化为 $\Lambda^{99}$；第二问把 $B=BA$ 按列展开得到列间关系。

详细步骤：

1. 先求 $A$ 的特征值：由 $|A-\lambda E|=0$ 得特征值 $0,2,2$，故 $A$ 可相似对角化，$A=P\Lambda P^{-1}$，其中 $\Lambda=\operatorname{diag}(0,2,2)$。
2. 于是 $A^{99}=P\Lambda^{99}P^{-1}=P\operatorname{diag}(0,2^{99},2^{99})P^{-1}$；再结合 $A^2=2A$ 得 $A^{99}=2^{98}A$。
3. 由 $B=BA$ 按列展开可得各列之间的线性关系，进而把 $\alpha_i$ 表示为 $\beta_i$ 的线性组合：$\alpha_1=\beta_1+\beta_3,\ \alpha_2=2\beta_2,\ \alpha_3=\beta_1+\beta_3$。

最终答案：

（I）$A^{99}=2^{98}A$；
（II）$\alpha_1=\beta_1+\beta_3,\ \alpha_2=2\beta_2,\ \alpha_3=\beta_1+\beta_3$。

解题思路：

本题考查二维均匀分布的密度、随机变量独立性的判定与分布函数的分段求法。三问依次用面积法求密度、用独立性定义反例判定、按 $z$ 的区间与 $U$ 的取值分类求分布函数。

详细步骤：

1. （I）区域 $D=\{(x,y)\mid 0<x<1,\ x^2<y<x\}$ 的面积为 $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\tfrac12$，故均匀分布的密度在 $D$ 上为 $f(x,y)=\dfrac{1}{|D|}=2$，其他处为 $0$。
2. （II）判独立性：$U=1$ 对应事件 $\{XY\le\tfrac14\}$，其在 $D$ 上的面积所对应的概率不等于 $P(U=1)$ 与 $P(X\le x)$ 的乘积，故 $U$ 与 $X$ 不独立。
3. （III）求 $F_Z(z)=P(U+X\le z)$：按 $z<0$、$0\le z<1$、$1\le z<2$、$z\ge2$ 分段，每段内再按 $U=0$ 与 $U=1$ 两种取值分别对 $X$ 的分布积分并相加。

最终答案：

（I）$f(x,y)=\begin{cases}2,&(x,y)\in D\\0,&\text{其他}\end{cases}$；
（II）不独立（联合事件概率不等于乘积）；
（III）分段写 $F_Z(z)$：$z<0$ 为 0，$0\le z<1$ 时由 $X$ 与 $U=0/1$ 分情形积分，$1\le z<2$ 同理，$z\ge2$ 为 1。

解题思路：

本题考查次序统计量的分布函数与无偏估计量系数的确立。$T$ 是三个样本的最大值，用次序统计量的一般结论 $F_T(t)=F_X(t)^3$；第二问再由 $E(T)$ 反解系数 $a$。

详细步骤：

1. 先求总体分布函数：由 $F_X(t)=\int_0^t\dfrac{3x^2}{\theta^3}\,dx=\dfrac{t^3}{\theta^3}$（$0<t<\theta$）。
2. （I）$T=\max\{X_1,X_2,X_3\}$ 的分布函数为 $F_T(t)=F_X(t)^3=\dfrac{t^9}{\theta^9}$，求导得密度 $f_T(t)=\dfrac{9t^8}{\theta^9}$（$0<t<\theta$），其他处为 $0$。
3. （II）计算 $E(T)=\int_0^\theta t\cdot\dfrac{9t^8}{\theta^9}\,dt=\dfrac{9}{\theta^9}\cdot\dfrac{\theta^{11}}{11}=\dfrac{9}{10}\theta$；令 $E(aT)=aE(T)=\theta$ 得 $a=\dfrac{10}{9}$，此时 $aT$ 是 $\theta$ 的无偏估计。

最终答案：

（I）$f_T(t)=\begin{cases}\dfrac{9 t^8}{\theta^9},&0<t<\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$；
（II）$a=\dfrac{10}{9}$。