2016年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、选择题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。

1．若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x)^b}\,dx$ 收敛，则（ ）

(A) $a<1$ 且 $b>1$
(B) $a>1$ 且 $b>1$
(C) $a<1$ 且 $a+b>1$
(D) $a>1$ 且 $a+b>1$

2．已知 $f(x)=\begin{cases}x,&x\le0\\x^2,&x>0\end{cases}$，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）

(A) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2},&x\le0\\\tfrac{x^3}{3},&x>0\end{cases}$
(B) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2},&x\le0\\\tfrac{x^3}{3}+1,&x>0\end{cases}$
(C) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2}-1,&x\le0\\\tfrac{x^3}{3},&x>0\end{cases}$
(D) $\begin{cases}\tfrac{x^2}{2}-1,&x\le0\\\tfrac{x^3}{3}+1,&x>0\end{cases}$

3．若 $y=(1+x^2)^2-\sqrt{1+x^2}$ 与 $y=(1+x^2)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是方程 $y'+p(x)y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$（ ）

(A) $3x(1+x^2)$
(B) $-3x(1+x^2)$
(C) $\dfrac{x}{1+x^2}$
(D) $-\dfrac{x}{1+x^2}$

4．已知 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 邻域连续，且 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2)^2}=1$，则（ ）

(A) $(0,0)$ 不是极值点
(B) $(0,0)$ 是极大值点
(C) $(0,0)$ 是极小值点
(D) 无法判断

5．设 $A,B$ 可逆且相似，下列错误的是（ ）

(A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似
(B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
(C) $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
(D) $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似

6．二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$，则 $f=2$ 表示的曲面是（ ）

(A) 椭球面 (B) 双曲面 (C) 抛物面 (D) 柱面

7．设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y\sim N(\mu,2\sigma^2)$，且 $P\{X\le\mu-1\}=P\{Y\ge\mu+1\}$，则（ ）

(A) $\mu=1$ (B) $\mu=2$ (C) $\mu=3$ (D) $\mu=4$

8．样本 $X_1,\dots,X_n$ 来自总体 $X$，统计量 $T=\tfrac{1}{n}\sum X_i^2$，$E(X)=\mu,\ D(X)=\sigma^2$，则（ ）

(A) $E(T)=\mu^2+\sigma^2$
(B) $E(T)=\mu^2$
(C) $D(T)=\dfrac{4\mu^2\sigma^2}{n}$
(D) $D(T)=\dfrac{2\sigma^4}{n}$

二、填空题

二、填空题：9～16 小题，每小题 4 分，共 32 分。

9．$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x} t\ln(1+t\sin t)\,dt}{1-\cos x^2}=$ ______。

10．向量场 $A(x,y,z)=(x+y+z)\mathbf{i}+xy\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}$ 的散度 $\operatorname{div}A=$ ______。

11．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}x^n$ 的收敛域为 ______，和函数为 ______。

12．设 $f(x)=\arctan x-\dfrac{x}{1+ax^2}$，且 $f'''(0)=1$，则 $a=$ ______。

13．设矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&-1\\-1&-1&1\end{pmatrix}$，求 $A^{-1}=$ ______。

14．设 $X$ 密度 $f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$Y$ 表示 3 次独立重复观察中事件 $\{X\le \tfrac12\}$ 的出现次数，则 $P\{Y=2\}=$ ______。

15．设事件 $A,B$，$P(A)=0.3,\ P(B\mid A)=0.4,\ P(A\mid B)=0.5$，则 $P(A\cup B)=$ ______。

16．总体 $X\sim U[0,\theta]$，样本 $X_1,\dots,X_n$，$\hat\theta=2\overline{X}$，则 $E(\hat\theta)=$ ______，$D(\hat\theta)=$ ______。

三、解答题

三、解答题：17～23 小题，共 94 分。

17．设函数 $f(x,y)$ 满足 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x+1)e^{2xy}$，且 $f(0,y)=y+1$，$L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,t)$ 的光滑曲线，计算 $I(t)=\displaystyle \int_L \dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$，并求 $I(t)$ 的最小值。

18．有界区域 $\varOmega$ 由平面 $2x+y+2z=2$ 与三坐标平面围成，$\varSigma$ 为外侧，计算 $I=\iint_{\varSigma}(2x+1)\,dy\,dz+2y\,dz\,dx+3z\,dx\,dy$。

19．已知 $f(0)=1$，且 $0<f'(x)<\tfrac{1}{2}$，数列 $x_{n+1}=f(x_n)$。
（I）证明 $\sum_{n=1}^{\infty}|x_{n+1}-x_n|$ 绝对收敛；
（II）证明 $\lim_{n\to\infty}x_n$ 存在且 $0<\lim_{n\to\infty}x_n<2$。

20．设 $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&a\\2&a&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$。讨论方程 $AX=B$ 的解：无解、唯一解、无穷多解。

21．已知 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$。
（I）求 $A^{99}$；
（II）若三阶矩阵 $B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ 满足 $B=BA$，记 $B\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，将 $\alpha_i$ 表示为 $\beta_i$ 的线性组合。

22．二维随机变量 $(X,Y)$ 在 $D=\{(x,y)\mid 0<x<1,\ x^2<y<x\}$ 上均匀分布，$U=\mathbf{1}_{\{XY\le 1/4\}}$。
（I）写出 $(X,Y)$ 的密度；（II）判定 $U$ 与 $X$ 是否独立并说明；（III）求 $Z=U+X$ 的分布函数。

23．总体密度 $f(x;\theta)=\begin{cases}\dfrac{3x^2}{\theta^3},&0<x<\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，样本 $X_1,X_2,X_3$，$T=\max\{X_1,X_2,X_3\}$。
（I）求 $T$ 的密度；（II）确定 $a$ 使 $aT$ 为 $\theta$ 的无偏估计。