基本导数规则

推导过程：

根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

对于常数函数 $f(x) = c$： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

解释：常数函数的导数恒为零，因为常数不随自变量的变化而变化。

推导过程：

根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

对于幂函数 $f(x) = x^n$： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h}$

使用二项式定理展开 $(x + h)^n$： $(x + h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$

因此： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \left(nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}\right)$

当 $h \to 0$ 时，除第一项外的所有项都趋于零，所以：

$f'(x) = nx^{n-1}$

解释：幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减 1 次幂。

例子：

• $(x^2)' = 2x$
• $(x^3)' = 3x^2$
• $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
• $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

推导过程：

根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

利用重要极限 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$： $f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$

推导过程：

设 $a^x = e^{x \ln a}$，则： $(a^x)' = (e^{x \ln a})' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$

解释：指数函数的导数等于函数本身乘以底数的自然对数。

例子：

• $(e^x)' = e^x$
• $(2^x)' = 2^x \ln 2$
• $(10^x)' = 10^x \ln 10$

推导过程：

根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x + h}{x}\right)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)$

设 $t = \frac{h}{x}$，则 $h = tx$，当 $h \to 0$ 时，$t \to 0$： $f'(x) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{tx} \ln(1 + t) = \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t}$

利用重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1$： $f'(x) = \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}$

推导过程：

利用换底公式 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$： $(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$

解释：对数函数的导数等于自变量的倒数乘以一个常数。

例子：

• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2}$
• $(\log_{10} x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

推导过程：

根据导数的定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$

使用三角恒等式 $\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$

$= \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

利用重要极限 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ 和 $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$： $f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$

推导过程：

类似地，使用 $\cos(x + h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

$= \cos x \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$

$= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$

推导过程：

使用商法则：$(\tan x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$