函数的单调性

单调性判别法

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 的内部可导，则：

例子 1：求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的单调区间。

解：

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$
令 $f'(x) = 0$ ，得 $x = 0, 2$
分析符号：
- 当 $x < 0$ 时， $f'(x) > 0$ ，函数单调递增
- 当 $0 < x < 2$ 时， $f'(x) < 0$ ，函数单调递减
- 当 $x > 2$ 时， $f'(x) > 0$ ，函数单调递增

例子 2：求函数 $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ 的单调区间。

解：

$f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
令 $f'(x) = 0$ ，得 $x = 0, 2$
分析符号：
- 当 $x < 0$ 时， $f'(x) > 0$ ，函数单调递增
- 当 $0 < x < 1$ 时， $f'(x) < 0$ ，函数单调递减
- 当 $1 < x < 2$ 时， $f'(x) < 0$ ，函数单调递减
- 当 $x > 2$ 时， $f'(x) > 0$ ，函数单调递增

求函数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ 的单调区间。

参考答案(3 个标签)

导数应用极值切线

解题思路：求导数，分析符号变化。

详细步骤：

答案：函数在 $(-\infty, 1)$ 上单调递减，在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。

求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的单调区间。

参考答案(3 个标签)

导数应用极值切线

解题思路：求导数，分析符号变化。

详细步骤：

答案：函数在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。

求函数 $f(x) = e^{-x^2}$ 的单调区间。

参考答案(3 个标签)

导数应用极值切线

解题思路：求导数，分析符号变化。

详细步骤：

答案：函数在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x)$	数学符号	f of x	函数
$f'(x)$	数学符号	f prime of x	导数
$I$	数学符号	I	讨论单调性的区间
$(-\infty, 0)$	数学符号	interval	开区间
$>$	数学符号	greater than	大于号
$<$	数学符号	less than	小于号
$e^{-x^2}$	数学符号	e to the minus x squared	指数函数
$\ln(x^2 + 1)$	数学符号	natural log	对数函数