隐函数求导

基本步骤：

1. 对方程两边同时对 $x$ 求导
2. 将 $y$ 视为 $x$ 的函数
3. 解出 $y'$

原理（推导过程）：

隐函数求导基于链式法则。当方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y$ 为 $x$ 的函数时，我们有：

$\frac{d}{dx}F(x, y) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

从而得到：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

几何意义：

隐函数求导的几何意义是求曲线在某点的切线斜率。例如，对于圆 $x^2 + y^2 = 1$，在点 $(a, b)$ 处的切线斜率为 $-\frac{a}{b}$。

基本例子：

例子 1：圆的方程 求 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数 解：

• 两边对 $x$ 求导：$2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{x}{y}$

例子 2：三次曲线 求 $x^3 + y^3 = 3xy$ 确定的隐函数的导数 解：

• 两边对 $x$ 求导：$3x^2 + 3y^2y' = 3y + 3xy'$
• 整理：$3y^2y' - 3xy' = 3y - 3x^2$
• 解出 $y'$：$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

复杂例子：

例子 3：指数函数 求 $e^{xy} + x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数的导数 解：

• 两边对 $x$ 求导：$e^{xy}(y + xy') + 2x + 2yy' = 0$
• 整理：$e^{xy}y + xe^{xy}y' + 2x + 2yy' = 0$
• 解出 $y'$：$y' = -\frac{e^{xy}y + 2x}{xe^{xy} + 2y}$

例子 4：对数函数 求 $\ln(x^2 + y^2) = xy$ 确定的隐函数的导数 解：

• 两边对 $x$ 求导：$\frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = y + xy'$
• 整理：$2x + 2yy' = (x^2 + y^2)(y + xy')$
• 解出 $y'$：$y' = \frac{(x^2 + y^2)y - 2x}{2y - (x^2 + y^2)x}$