Substitution — Second Type (Trigonometric)

Second-type (trigonometric) substitution is used to handle radicals.

适用情况

Forms like $\sqrt{a^2 - x^2}$ , $\sqrt{a^2 + x^2}$ , $\sqrt{x^2 - a^2}$ .

例 1 $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
$x=\sin t$ , $dx=\cos t\,dt$ , $\sqrt{1-x^2}=\cos t$ → $\int dt = \arcsin x + C$ .

例 2 $\int \dfrac{1}{1 + x^2} dx$
$x=\tan t$ , $dx=\sec^2 t\,dt$ → $\int \dfrac{1}{1+\tan^2 t}\sec^2 t dt = \int dt = \arctan x + C$ .

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int$	数学符号	integral	不定/定积分符号
$t$	变量	tee	换元后的三角变量

中文术语	英文术语	音标	说明
第二类换元法	second-type substitution	/ˈsɛkənd taɪp ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	三角换元，处理根式
三角换元	trigonometric substitution	/ˌtrɪɡəˈnɒmɪtrɪk ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	用三角函数替换变量