随机变量的数字特征综合练习题

解题思路： 使用离散型随机变量数学期望的定义。

详细步骤：

1. $E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$
2. $= 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3$
3. $= 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$

最终答案：$2.1$

解题思路： 使用数学期望和方差的性质。

详细步骤：

1. $E(3X-1) = 3E(X) - 1 = 3 \times 2 - 1 = 5$
2. $D(3X-1) = 3^2 D(X) = 9 \times 3 = 27$

最终答案：$E(3X-1) = 5$，$D(3X-1) = 27$

解题思路： 使用数学期望的线性性质。

详细步骤：

1. $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
2. $= 1 + 2 = 3$
3. 期望的线性性质对任意随机变量都成立，这一步并不需要独立性作为前提。

最终答案：$E(X + Y) = 3$。

解题思路： 使用相关系数的定义。

详细步骤：

1. $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
2. $= \frac{3}{2 \times 1} = 1.5$

最终答案：$1.5$

解题思路： 先求密度函数，再计算期望。

详细步骤：

1. $f(x) = F'(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
2. $E(X) = \int_0^1 x \cdot 1 dx = \frac{x^2}{2}\big|_0^1 = \frac{1}{2}$

最终答案：$\frac{1}{2}$

解题思路： 使用指数分布的数学期望和方差公式。

详细步骤：

1. 指数分布的数学期望：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$
2. 指数分布的方差：$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

最终答案：$E(X) = \frac{1}{\lambda}$，$D(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

解题思路： 使用二项分布的数学期望和方差公式。

详细步骤：

1. 二项分布的数学期望：$E(X) = np$
2. 二项分布的方差：$D(X) = np(1-p)$

最终答案：$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$

解题思路： 使用协方差的简化计算公式。

详细步骤：

1. $E(X) = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.5 = 0.5$
2. $E(Y) = 0 \times 0.5 + 1 \times 0.5 = 0.5$
3. $E(XY) = 0 \times 0 \times 0.3 + 0 \times 1 \times 0.2 + 1 \times 0 \times 0.2 + 1 \times 1 \times 0.3 = 0.3$
4. $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.3 - 0.5 \times 0.5 = 0.05$

最终答案：$0.05$

解题思路： 使用独立随机变量方差的可加性。

详细步骤：

1. 如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$
2. $= 4 + 9 = 13$
3. 独立性正是方差可加性的前提；这里 $X$ 与 $Y$ 独立，所以两项方差可以直接相加。

最终答案：$D(X + Y) = 13$。

解题思路： 使用泊松分布的数学期望和方差公式。

详细步骤：

1. 泊松分布的数学期望：$E(X) = \lambda$
2. 泊松分布的方差：$D(X) = \lambda$

最终答案：$E(X) = \lambda$，$D(X) = \lambda$

解题思路： 使用正态分布的数学期望和方差公式。

详细步骤：

1. 正态分布的数学期望：$E(X) = \mu$
2. 正态分布的方差：$D(X) = \sigma^2$

最终答案：$E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$

解题思路： 使用相关系数的定义。

详细步骤：

1. $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
2. $0.8 = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{4 \times 9}} = \frac{Cov(X,Y)}{6}$
3. $Cov(X,Y) = 0.8 \times 6 = 4.8$

最终答案：$4.8$

解题思路： 使用均匀分布的数学期望和方差公式。

详细步骤：

1. 均匀分布的数学期望：$E(X) = \frac{a+b}{2}$
2. 均匀分布的方差：$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

最终答案：$E(X) = \frac{a+b}{2}$，$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

解题思路： 使用方差的简化计算公式。

详细步骤：

1. $E(X) = 1 \times 0.2 + 2 \times 0.5 + 3 \times 0.3 = 2.1$
2. $E(X^2) = 1^2 \times 0.2 + 2^2 \times 0.5 + 3^2 \times 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$
3. $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$

最终答案：$0.49$

解题思路： 利用独立随机变量的协方差为零。

详细步骤：

1. 如果 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $Cov(X,Y) = 0$
2. 所以 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \frac{0}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = 0$

最终答案：证明完成