两正态总体的假设检验

两个正态总体均值差检验

方差已知的情况（Z 检验）

总体：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知

假设：

• $H_0: \mu_1 = \mu_2$
• $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$（双侧检验）
• $H_1: \mu_1 > \mu_2$（右单侧检验）
• $H_1: \mu_1 < \mu_2$（左单侧检验）

检验统计量： $Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$

拒绝域：

• 双侧检验：$|Z| > z_{\alpha/2}$
• 右单侧检验：$Z > z_{\alpha}$
• 左单侧检验：$Z < -z_{\alpha}$

例 1：某工厂使用两种不同的工艺生产零件，工艺 A 生产的零件长度服从 $N(\mu_1, 0.04)$，工艺 B 生产的零件长度服从 $N(\mu_2, 0.06)$。从工艺 A 中抽取 16 个零件，平均长度为 10.2cm；从工艺 B 中抽取 20 个零件，平均长度为 10.0cm。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验两种工艺生产的零件长度是否有差异。

解：

1. 提出假设：$H_0: \mu_1 = \mu_2$，$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
2. 检验统计量：$Z = \frac{(10.2 - 10.0) - 0}{\sqrt{\frac{0.04}{16} + \frac{0.06}{20}}} = \frac{0.2}{\sqrt{0.0025 + 0.003}} = \frac{0.2}{0.074} = 2.70$
3. 拒绝域：$|Z| > 1.96$
4. 判断：$|Z| = 2.70 > 1.96$，拒绝原假设
5. 结论：两种工艺生产的零件长度有显著差异

方差未知但相等的情况（双样本 T 检验）

总体：$X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知但相等

假设：

• $H_0: \mu_1 = \mu_2$
• $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$（双侧检验）
• $H_1: \mu_1 > \mu_2$（右单侧检验）
• $H_1: \mu_1 < \mu_2$（左单侧检验）

检验统计量： $T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2)$

其中 $S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ 是合并方差。

拒绝域：

• 双侧检验：$|T| > t_{\alpha/2}(n_1 + n_2 - 2)$
• 右单侧检验：$T > t_{\alpha}(n_1 + n_2 - 2)$
• 左单侧检验：$T < -t_{\alpha}(n_1 + n_2 - 2)$

例 2：某医院比较两种药物治疗高血压的效果。使用药物 A 治疗 15 名患者，平均血压降低值为 8.5mmHg，样本标准差为 2.1mmHg；使用药物 B 治疗 12 名患者，平均血压降低值为 6.8mmHg，样本标准差为 2.3mmHg。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验两种药物的效果是否有差异。

解：

1. 提出假设：$H_0: \mu_1 = \mu_2$，$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
2. 合并方差：$S_p^2 = \frac{(15-1) \times 2.1^2 + (12-1) \times 2.3^2}{15 + 12 - 2} = \frac{14 \times 4.41 + 11 \times 5.29}{25} = 4.82$
3. 检验统计量：$T = \frac{(8.5 - 6.8) - 0}{\sqrt{4.82 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{12})}} = \frac{1.7}{\sqrt{4.82 \times 0.15}} = \frac{1.7}{0.85} = 2.00$
4. 拒绝域：$|T| > t_{0.025}(25) = 2.060$
5. 判断：$|T| = 2.00 < 2.060$，不拒绝原假设
6. 结论：两种药物的效果无显著差异

方差未知且不相等的情况（Welch’s T 检验）

总体：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 未知且不相等

假设：

• $H_0: \mu_1 = \mu_2$
• $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$（双侧检验）
• $H_1: \mu_1 > \mu_2$（右单侧检验）
• $H_1: \mu_1 < \mu_2$（左单侧检验）

检验统计量： $T = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t(df)$

其中自由度 $df = \frac{(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2})^2}{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$（Welch-Satterthwaite 公式）。

拒绝域：

• 双侧检验：$|T| > t_{\alpha/2}(df)$
• 右单侧检验：$T > t_{\alpha}(df)$
• 左单侧检验：$T < -t_{\alpha}(df)$

两个正态总体方差比检验（F 检验）

均值未知的情况

总体：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\mu_1, \mu_2$ 未知

假设：

• $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$
• $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$（双侧检验）
• $H_1: \sigma_1^2 > \sigma_2^2$（右单侧检验）
• $H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2$（左单侧检验）

检验统计量： $F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

拒绝域：

• 双侧检验：$F < F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ 或 $F > F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$
• 右单侧检验：$F > F_{\alpha}(n_1-1, n_2-1)$
• 左单侧检验：$F < F_{1-\alpha}(n_1-1, n_2-1)$

例 3：某工厂比较两种生产工艺的稳定性。使用工艺 A 生产 10 个产品，样本方差为 0.04；使用工艺 B 生产 12 个产品，样本方差为 0.06。在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，检验两种工艺的稳定性是否有差异。

解：

1. 提出假设：$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
2. 检验统计量：$F = \frac{0.04}{0.06} = 0.67$
3. 拒绝域：$F < F_{0.975}(9, 11) = 0.25$ 或 $F > F_{0.025}(9, 11) = 3.59$
4. 判断：$0.25 < F = 0.67 < 3.59$，不拒绝原假设
5. 结论：两种工艺的稳定性无显著差异

检验方法的比较

均值差检验方法的比较

Z 检验：

• 适用条件：方差已知
• 优点：计算简单，不需要查 t 分布表
• 缺点：需要知道总体方差

双样本 T 检验：

• 适用条件：方差未知但相等
• 优点：不需要知道总体方差
• 缺点：需要假设方差相等

Welch’s T 检验：

• 适用条件：方差未知且不相等
• 优点：不需要假设方差相等
• 缺点：计算相对复杂

方差比检验的特点

F 检验：

• 检验对象：两个正态总体的方差比
• 应用场景：比较两种方法的精度、稳定性等
• 注意事项：对正态性假设敏感

检验的假设条件

正态性假设

重要性：所有检验方法都基于正态性假设。

检验方法：

1. 图形法：Q-Q 图、直方图
2. 统计检验：Shapiro-Wilk 检验、Kolmogorov-Smirnov 检验

处理非正态数据：

1. 数据变换：对数变换、平方根变换等
2. 非参数检验：Mann-Whitney U 检验、Kruskal-Wallis 检验等

独立性假设

重要性：样本观测值之间应该相互独立。

检验方法：

1. 时间序列分析：自相关函数
2. 空间数据分析：空间自相关

方差齐性假设

重要性：双样本 T 检验需要方差相等的假设。

检验方法：

1. F 检验：检验方差比
2. Levene 检验：对正态性不敏感的方差齐性检验
3. Brown-Forsythe 检验：基于中位数的方差齐性检验

检验的功效分析

功效函数

定义：功效函数 $1 - \beta$ 表示在原假设为假时拒绝原假设的概率。

影响因素：

1. 样本量：样本量越大，功效越高
2. 显著性水平：显著性水平越高，功效越高
3. 效应量：效应量越大，功效越高

样本量的确定

问题：给定显著性水平、功效和效应量，确定所需的样本量。

例 4：对于两个正态总体均值差检验，给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，功效 $1 - \beta = 0.8$，效应量 $d = 0.5$，求每组样本量 $n$。

解：

1. 使用功效分析公式
2. 查表或使用软件计算
3. 得到每组 $n \approx 32$

检验的注意事项

多重比较问题

问题：进行多个假设检验时，犯第一类错误的概率会增加。

解决方法：

1. Bonferroni 校正：将显著性水平除以检验次数
2. Holm 校正：逐步调整显著性水平
3. FDR 控制：控制错误发现率

效应量

定义：效应量是衡量实际差异大小的指标。

常用效应量：

1. Cohen’s d：$d = \frac{\mu_1 - \mu_2}{\sigma}$
2. 相关系数：$r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + df}}$

意义：即使统计上显著，如果效应量很小，实际意义可能不大。

样本量的影响

影响：样本量越大，检验的功效越高，犯第二类错误的概率越小。

原因：样本量越大，估计越精确，更容易检测到真实的差异。

练习题

练习 1

两正态总体方差未知但相等，检验均值差应选用哪种检验？

练习 2

设两总体方差分别为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$，检验 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2$，应选用哪种检验？

练习 3

设 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，检验 $H_0: \mu_1 = \mu_2$，写出检验统计量。

练习 4

设 $X \sim N(\mu_1, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知但相等，检验 $H_0: \mu_1 = \mu_2$，写出检验统计量。

练习 5

设 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\mu_1, \mu_2$ 未知，检验 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，写出检验统计量。