相似三角形中的黄金比例

问题提出

上一章我们从代数角度定义了黄金比例。呼噜星球的学生们问：

老师，能不能用几何的方法”看到”黄金比例？比如用三角形？

我在黑板上画了一个等腰三角形，顶角为 $36^\circ$ ，底角为 $72^\circ$ 。

这个三角形叫做黄金三角形。你们仔细看看，它里面藏着什么？

学生们观察了一会儿，有人发现：如果作一个底角的角平分线，会把原来的三角形分成两个小三角形，其中一个和原来的三角形相似！

观察与猜想

设等腰三角形 $ABC$ ， $AB = AC$ ， $\angle A = 36^\circ$ ， $\angle B = \angle C = 72^\circ$ 。

作 $\angle B$ 的角平分线 $BD$ ，交 $AC$ 于 $D$ 。

$\angle ABD = \angle DBC = 36^\circ$
在 $\triangle BDC$ 中， $\angle DBC = 36^\circ$ ， $\angle C = 72^\circ$ ，所以 $\angle BDC = 72^\circ$
因此 $\triangle BDC$ 也是等腰三角形， $BD = BC$
在 $\triangle ABD$ 中， $\angle A = \angle ABD = 36^\circ$ ，所以 $AD = BD$

学生们发现：

$AD = BD = BC$

而且 $\triangle ABC \sim \triangle BDC$ （都是 $36^\circ$ - $72^\circ$ - $72^\circ$ 的等腰三角形）。

由相似性：

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$

因为 $BC = AD$ ， $DC = AC - AD$ ，所以：

$\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{AC - AD}$

这正是黄金分割的条件！点 $D$ 是 $AC$ 的黄金分割点。

学生们猜想：

所以 $\frac{AC}{AD} = \varphi$ ，黄金比例就藏在这个 $36^\circ$ 的等腰三角形里！

严格证明

黄金三角形的构造

定义：顶角为 $36^\circ$ 的等腰三角形称为黄金三角形。

设 $AB = AC = 1$ ， $\angle A = 36^\circ$ 。

作 $\angle B$ 的平分线 $BD$ ， $D \in AC$ 。

证明 $\triangle ABC \sim \triangle BDC$

$\angle ABC = \angle ACB = 72^\circ$ （等腰三角形底角相等）
$BD$ 平分 $\angle ABC$ ，所以 $\angle DBC = 36^\circ$
在 $\triangle BDC$ 中， $\angle BDC = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ$
因此 $\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ$ ， $\angle DBC = \angle BAC = 36^\circ$
由 AA 相似判定， $\triangle ABC \sim \triangle BDC$

证明点 D 是 AC 的黄金分割点

由 $\triangle ABC \sim \triangle BDC$ ：

$\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DC}$

又因为：

$\angle ABD = 36^\circ = \angle BAD$ ，所以 $\triangle ABD$ 是等腰三角形， $AD = BD$
$\angle BDC = \angle BCD = 72^\circ$ ，所以 $\triangle BDC$ 是等腰三角形， $BD = BC$

因此 $AD = BD = BC$ 。

代入相似比：

$\frac{AC}{AD} = \frac{AD}{DC} = \frac{AD}{AC - AD}$

这正是黄金分割的定义式。设 $AD = x$ ， $AC = 1$ ：

$\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x} \implies x^2 + x - 1 = 0 \implies x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

所以：

$\frac{AC}{AD} = \frac{1}{x} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi$

黄金三角形的自相似性

黄金三角形最神奇的性质是自相似：

作底角平分线，得到一个小的黄金三角形 $\triangle BDC$ 和一个等腰三角形 $\triangle ABD$
对 $\triangle BDC$ 再作底角平分线，又得到一个更小的黄金三角形
这个过程可以无限进行下去，产生一系列越来越小的黄金三角形

这些三角形的边长比构成一个等比数列，公比为 $1/\varphi$ 。连接各分点可以得到等角螺线（对数螺线），我们将在螺旋章节详细讨论。

尺规作图：黄金分割点

利用黄金三角形，可以用尺规作图作出线段的黄金分割点：

作线段 $AB$
过 $B$ 作 $AB$ 的垂线，取 $BC = AB/2$
连接 $AC$ ，以 $C$ 为圆心、 $CB$ 为半径画弧，交 $AC$ 于 $D$
以 $A$ 为圆心、 $AD$ 为半径画弧，交 $AB$ 于 $E$

则 $E$ 就是 $AB$ 的黄金分割点， $\frac{AB}{AE} = \varphi$ 。

证明：设 $AB = 1$ ，则 $BC = 1/2$ ， $AC = \sqrt{1 + 1/4} = \sqrt{5}/2$ 。 $CD = CB = 1/2$ ，所以 $AD = AC - CD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。 $AE = AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，即 $\frac{AB}{AE} = \varphi$ 。