无穷级数

问题提出

上一章我们用数列极限定义了 $e$ ：

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

但呼噜星球的学生们发现，用这个定义计算 $e$ 的近似值效率不高—— $n=10000$ 时才精确到小数点后 3 位。

一个学生问：

老师，有没有更快的方法计算 $e$ ？比如用级数？

我笑着说：这个问题问得好。事实上， $e$ 有一个非常简洁的级数表达式。

观察与猜想

回顾二项式展开：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$

当 $n \to \infty$ 时，对于固定的 $k$ ：

$\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \to 1$

所以每一项趋向 $\frac{1}{k!}$ 。

学生们大胆猜想：

当 $n \to \infty$ 时， $(1+\frac{1}{n})^n$ 应该趋向 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ ！

让我们验证一下这个级数的部分和：

$n$	$\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$
0	1.00000
1	2.00000
2	2.50000
3	2.66667
4	2.70833
5	2.71667
6	2.71806
7	2.71825
8	2.71828

只需要前 9 项，就精确到了小数点后 5 位！比数列定义快得多。

严格证明

定理： $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$

第一步：证明级数收敛

考虑正项级数 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 。

当 $k \geq 2$ 时， $k! \geq 2^{k-1}$ ，所以 $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$ 。

而等比级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} = 2$ 收敛。

由比较判别法， $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 收敛。记其和为 $S$ 。

第二步：证明 $e \leq S$

由二项式展开，对任意 $n$ ：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq S$

两边取极限 $n \to \infty$ ，得 $e \leq S$ 。

第三步：证明 $e \geq S$

对任意固定的 $m \leq n$ ：

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$

先令 $n \to \infty$ （ $m$ 固定），右边趋向 $\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}$ ，所以：

$e \geq \sum_{k=0}^{m} \frac{1}{k!}$

再令 $m \to \infty$ ，得 $e \geq S$ 。

综上， $e = S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ 。

更一般的指数函数级数

类似地，可以证明对任意实数 $x$ ：

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

这个级数对所有实数 $x$ 都收敛（由比值判别法， $\lim_{k \to \infty} \frac{|x|^{k+1}/(k+1)!}{|x|^k/k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{|x|}{k+1} = 0 < 1$ ）。

用级数计算 $e$ 的精度

用前 $n+1$ 项近似 $e$ ，误差为：

$R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \cdots\right)$

括号内的和 $< 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots = \frac{n+1}{n}$

所以：

$R_n < \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n \cdot n!}$

例如 $n=10$ 时，误差 $< \frac{1}{10 \cdot 10!} \approx 2.8 \times 10^{-8}$ ，非常精确。

结论与应用

级数定义： $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots$
指数函数： $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ ，对所有实数 $x$ 收敛
计算效率：级数定义比数列定义收敛快得多，前 10 项即可达到 $10^{-7}$ 精度