数列极限

问题提出

上一章我们通过复利问题，数值上观察到 $(1+\frac{1}{n})^n$ 似乎趋向一个约为 2.718 的常数。

呼噜星球的学生们不满足于数值观察，他们问：

老师，我们能严格证明这个数列收敛吗？这个极限 $e$ 到底有什么性质？

今天，我们就来给出 $e$ 的第一个严格定义——数列极限定义。

观察与猜想

回顾数列：

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

我们已经计算过一些值：

$a_1 = 2$
$a_2 = 2.25$
$a_{10} \approx 2.5937$
$a_{100} \approx 2.7048$
$a_{1000} \approx 2.7169$
$a_{10000} \approx 2.7181$

从数值上看， $a_n$ 单调递增且增长越来越慢。我们猜想：

$a_n$ 单调递增且有上界，因此收敛。其极限值记为 $e$ 。

严格证明

定理：数列 $a_n = (1+\frac{1}{n})^n$ 单调递增且有上界

一、单调性证明

方法一：二项式展开比较法

利用二项式定理：

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)$

对比 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的第 $k$ 项（ $k \leq n$ ）：

$a_n \text{ 的第 } k \text{ 项} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$

$a_{n+1} \text{ 的第 } k \text{ 项} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)$

因为 $\frac{j}{n+1} < \frac{j}{n}$ ，所以 $(1-\frac{j}{n+1}) > (1-\frac{j}{n})$ ，每一项都更大。

此外 $a_{n+1}$ 还多了第 $n+1$ 项（正数）。因此 $a_{n+1} > a_n$ 。

方法二：均值不等式法

对 $n+1$ 个正数： $1+\frac{1}{n}$ （出现 $n$ 次）和 $1$ （出现 1 次），由算术-几何均值不等式：

$\frac{n(1+\frac{1}{n}) + 1}{n+1} > \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \cdot 1\right]^{\frac{1}{n+1}}$

左边 $= \frac{n+1+1}{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$

所以：

$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

即 $a_{n+1} > a_n$ 。

二、有界性证明

由二项式展开，当 $k \geq 1$ 时：

$\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) < \frac{1}{k!}$

因此：

$a_n < 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}$

注意到当 $k \geq 2$ 时， $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k \geq 2^{k-1}$ ，所以 $\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$ 。

$a_n < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} < 1 + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 3$

所以 $a_n < 3$ ，有上界。

三、收敛性

由单调有界收敛定理：单调递增且有上界的数列必有极限。

定义：

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

且 $2 < e \leq 3$ 。

更一般的形式

对任意实数 $x$ ，可以证明：

$e^x = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

这是指数函数的极限定义。

证明思路：当 $x$ 为正整数 $m$ 时：

$\left(1+\frac{m}{n}\right)^n = \left[\left(1+\frac{1}{n/m}\right)^{n/m}\right]^m \to e^m \quad (n \to \infty)$

对一般实数 $x$ ，可通过取整和夹逼定理推广。

结论与应用

定义： $e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$
性质： $2 < e < 3$ ， $e$ 是一个确定的实数
推广： $e^x = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n$

呼噜星球的学生们满意了。一个学生总结道：

原来 $e$ 不是随便定义的符号，而是一个数列的极限，而且它的存在性可以用最基本的单调有界定理证明！

但另一个学生马上问：

老师，用数列定义 $e$ ，计算起来不太方便。有没有更快的计算方法？

这正是下一章要解决的问题——我们将发现 $e$ 的第二个定义：无穷级数。