练习题

解题思路：

把十进制数 123 转换为二进制、八进制和十六进制时，对目标进制反复做除法，收集各次余数，再从下往上读出结果。

详细步骤：

解答：

转换为二进制：

123 ÷ 2 = 61 余 1
61 ÷ 2 = 30 余 1
30 ÷ 2 = 15 余 0
15 ÷ 2 = 7 余 1
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1

从下往上读：123₁₀ = 1111011₂

转换为八进制：

123 ÷ 8 = 15 余 3
15 ÷ 8 = 1 余 7
1 ÷ 8 = 0 余 1

从下往上读：123₁₀ = 173₈

转换为十六进制：

123 ÷ 16 = 7 余 11 (B)
7 ÷ 16 = 0 余 7

从下往上读：123₁₀ = 7B₁₆

答案： 123₁₀ = 1111011₂ = 173₈ = 7B₁₆

最终答案：

123₁₀ = 1111011₂ = 173₈ = 7B₁₆.

解题思路：

把二进制数 11010101 转换为十进制时，按位权展开后逐项求和。

详细步骤：

解答：

使用位权展开法：

11010101₂ = 1×2⁷ + 1×2⁶ + 0×2⁵ + 1×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰
= 1×128 + 1×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
= 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
= 213

答案： 11010101₂ = 213₁₀

最终答案：

11010101₂ = 213₁₀.

解题思路：

用 8 位补码表示 -45 并计算 -45 + 23 时，先求绝对值的二进制表示，按取反加一得到补码，再对两个 8 位补码做加法。

详细步骤：

解答：

步骤 1：求 -45 的 8 位补码

• 45 的二进制表示：00101101
• 求反码：11010010
• 加 1 得到补码：11010011

步骤 2：求 23 的 8 位补码

• 23 的二进制表示：00010111（正数补码等于原码）

步骤 3：相加

11010011 (-45)

• 00010111 (23)
  = 11101010

步骤 4：判断结果

• 最高位为 1，表示负数
• 求补码的绝对值：00010110 = 22
• 所以结果是 -22

验证： -45 + 23 = -22 ✓

答案： -45 的 8 位补码是 11010011，-45 + 23 = -22

最终答案：

-45 的 8 位补码为 11010011，且 -45 + 23 = -22。

验证：-45 + 23 = -22 ✓

解题思路：

判断 8 位补码运算 100 + 50 是否溢出时，先把两个操作数转换为补码并相加，再把结果的符号与操作数的符号作比较。

详细步骤：

解答：

步骤 1：转换为 8 位补码

• 100 的 8 位补码：01100100
• 50 的 8 位补码：00110010

步骤 2：相加

01100100 (100)

• 00110010 (50)
  = 10010110

步骤 3：分析溢出

• 两个正数相加得到负数（最高位为 1）
• 这是符号位溢出，表示发生了溢出

步骤 4：验证

• 100 + 50 = 150
• 8 位有符号数范围是 -128 到 127
• 150 超出了这个范围，确实溢出

答案： 发生溢出，因为两个正数相加得到负数

最终答案：

发生了溢出，因为两个正数相加却得到了负数结果。

解题思路：

把十进制数 12.375 转换为 IEEE 754 单精度浮点数时，先转成二进制并规格化，再拼装符号位、阶码和尾数。

详细步骤：

解答：

步骤 1：转换为二进制

• 整数部分：12 = 1100₂
• 小数部分：0.375 × 2 = 0.75 → 0
• 0.75 × 2 = 1.5 → 1
• 0.5 × 2 = 1.0 → 1
• 所以 0.375 = 0.011₂
• 12.375 = 1100.011₂

步骤 2：规格化

• 1100.011₂ = 1.100011₂ × 2³
• 尾数：100011（去掉隐含的 1）
• 指数：3 + 127 = 130 = 10000010₂

步骤 3：组合

• 符号位：0（正数）
• 指数位：10000010
• 尾数位：10001100000000000000000
• 结果：0 10000010 10001100000000000000000

答案： 0 10000010 10001100000000000000000

最终答案：

0 10000010 10001100000000000000000.

解题思路：

把 IEEE 754 单精度值 0x42280000 转换为十进制时，先展开成二进制并拆分为三个字段，再求它所表示的数值。

详细步骤：

解答：

步骤 1：转换为二进制

• 0x42280000 = 01000010 00101000 00000000 00000000

步骤 2：分解

• 符号位：0（正数）
• 指数位：10000100 = 132
• 尾数位：01010000000000000000000

步骤 3：计算

• 实际指数：132 - 127 = 5
• 尾数：1.0101₂（加上隐含的 1）
• 数值：1.0101₂ × 2⁵ = 101010₂ = 42₁₀

答案： 42.0

最终答案：

42.0.

解题思路：

化简逻辑表达式 F = A’B + AB’ + AB 时，用分配律提取公因子 A，用互补律消去括号，再化简剩余的与或和。

详细步骤：

解答：

步骤 1：使用分配律

F = A’B + AB’ + AB
= A’B + A(B’ + B)

步骤 2：使用互补律

B’ + B = 1
F = A’B + A(1)
F = A’B + A

步骤 3：使用分配律

F = A’B + A
= A’B + A(1)
= A’B + A(B + B’)
= A’B + AB + AB’
= (A’ + A)B + AB’
= B + AB’

步骤 4：进一步化简

F = B + AB’
= B + AB’
= B + AB’ + BB’ (B = B + BB’)
= B + (A + B)B’
= B + B’ (因为 A + B = 1)
= 1

答案： F = 1（恒真）

最终答案：

F = 1，即该表达式恒为真。

解题思路：

为 3 位二进制数设计奇偶校验电路时，先定义输入与输出，列出真值表并导出逻辑表达式，再用异或门实现。

详细步骤：

解答：

步骤 1：定义输入输出

• 输入：3 位二进制数 A₂A₁A₀
• 输出：奇偶校验位 P

步骤 2：真值表

步骤 3：逻辑表达式

P = A₂ ⊕ A₁ ⊕ A₀

步骤 4：电路实现 使用两个异或门：

• 第一个异或门：A₂ ⊕ A₁
• 第二个异或门：(A₂ ⊕ A₁) ⊕ A₀

答案： P = A₂ ⊕ A₁ ⊕ A₀

最终答案：

P = A₂ ⊕ A₁ ⊕ A₀，用两级级联的异或门实现。

解题思路：

用 Booth 算法计算 7 × (-3) 时，先把操作数转为二进制并为乘数补上符号位，然后逐步行进算法，每步加上或减去被乘数并右移。

详细步骤：

解答：

步骤 1：转换为二进制

• 7 = 0111₂
• -3 的 8 位补码：11111101

步骤 2：扩展乘数

• 7 = 00000111₂（8 位）
• 添加符号位：00000111₂

步骤 3：Booth 算法

初始：A = 00000000，Q = 00000111，Q₋₁ = 0

步骤 4：结果

• 最终 A = 00010000, Q = 11100111
• 结果：0001000011100111₂ = 11100111₂ = -21₁₀

验证： 7 × (-3) = -21 ✓

答案： 7 × (-3) = -21

最终答案：

7 × (-3) = -21。

验证：7 × (-3) = -21 ✓

解题思路：

设计 4 位全加器时，先定义输入输出并导出单个全加器的逻辑方程，再把四个级联起来，最后列表说明进位如何在各级之间传递。

详细步骤：

解答：

步骤 1：定义输入输出

• 输入：A₃A₂A₁A₀, B₃B₂B₁B₀, C_in
• 输出：S₃S₂S₁S₀, C_out

步骤 2：单个全加器

S_i = A_i ⊕ B_i ⊕ C_i
C_{i+1} = A_iB_i + (A_i ⊕ B_i)C_i

步骤 3：4 位全加器连接

FA0: S₀ = A₀ ⊕ B₀ ⊕ C_in, C₁ = A₀B₀ + (A₀ ⊕ B₀)C_in
FA1: S₁ = A₁ ⊕ B₁ ⊕ C₁, C₂ = A₁B₁ + (A₁ ⊕ B₁)C₁
FA2: S₂ = A₂ ⊕ B₂ ⊕ C₂, C₃ = A₂B₂ + (A₂ ⊕ B₂)C₂
FA3: S₃ = A₃ ⊕ B₃ ⊕ C₃, C_out = A₃B₃ + (A₃ ⊕ B₃)C₃

步骤 4：电路图

4 位行波进位加法器由 FA0 ~ FA3 串联而成，低位进位逐级传递：

答案： 使用 4 个全加器级联，每个全加器处理一位，进位信号连接相邻位

最终答案：

采用四个级联的全加器，每个全加器处理一位，各级之间的进位输出接到下一级的进位输入。

解题思路：

设计支持加、减、与、或运算的简单 ALU 时，先定义输入输出、分配操作码、搭建并行数据通路，再用多路选择器选出结果。

详细步骤：

解答：

步骤 1：定义输入输出

• 输入：A[3:0], B[3:0], OP[1:0]
• 输出：RESULT[3:0], ZERO, CARRY

步骤 2：操作码定义

• OP = 00：加法
• OP = 01：减法
• OP = 10：与运算
• OP = 11：或运算

步骤 3：逻辑设计

• 加法器：ADD_RESULT = A + B；CARRY = (A + B) > 15
• 减法器：SUB_RESULT = A − B；CARRY = A < B
• 逻辑运算：AND_RESULT = A & B；OR_RESULT = A | B
• 多路选择器：RESULT = OP[1] ? (OP[0] ? OR_RESULT : AND_RESULT) : (OP[0] ? SUB_RESULT : ADD_RESULT)
• 零标志：ZERO = (RESULT == 0)

步骤 4：电路实现

数据通路：A[3:0]、B[3:0] 与 OP[1:0] 输入 → 4 位加法器 / 4 位减法器 / 逻辑运算单元并行计算 → 4:1 多路选择器按 OP 选结果 → 零检测器 → 输出 RESULT[3:0]、ZERO、CARRY。

答案： 使用加法器、减法器、逻辑运算单元和多路选择器组合实现

最终答案：

将加法器、减法器、逻辑部件和多路选择器组合起来，用操作码选择输出哪一个结果。

解题思路：

分析浮点运算的精度问题时，先找出精度损失的来源，用一个具体例子推演，追踪误差的累积过程，再列出控制误差的手段。

详细步骤：

解答：

步骤 1：精度损失原因

• 二进制无法精确表示某些十进制小数
• 规格化过程中的舍入误差
• 运算过程中的累积误差

步骤 2：示例分析

0.1₁₀ = 0.0001100110011…₂（无限循环）
在单精度浮点数中只能存储有限位，造成精度损失

步骤 3：误差累积

0.1 + 0.1 + 0.1 ≠ 0.3
因为每个0.1都有舍入误差，累积后误差增大

步骤 4：解决方案

• 使用更高精度的数据类型（双精度）
• 采用特殊的数值算法（如 Kahan 求和）
• 在关键计算中使用定点数
• 进行误差分析和控制

答案： 浮点数运算存在精度问题，需要采用适当的算法和数据类型来减少误差

最终答案：

浮点运算确实存在精度问题，因此需要合理选择算法和数据类型，把误差控制在较小范围内。